Question

En un triángulo ABC, m ∠B = 84° y m ∠C = 10°. Sobre AC se toma el punto P, de modo que PC = AB. Las mediatrices de AP y BC se cortan en el punto T. ¿Cuál es la medida del ángulo TCA?

a)16
b)24
c)12
d)4

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Congruencia de Triángulos

$\textbf{Problema :}$

En un triángulo $\triangle \textrm{ABC}$ la medida del ángulo $\textrm{B}$ es $\textrm{m} \angle \textrm{B} = 84$ y $\textrm{m} \angle \textrm{C} = 10$. Sobre $\overline{\textrm{AC}}$ se toma el punto $\textrm{P}$, de modo que $\textrm{PC} = \textrm{AB}$. Las mediatrices de $\overline{\textrm{AP}}$ y $\overline{\textrm{BC}}$ se cortan en el punto $\textrm{T}$. ¿Cuál es la medida del ángulo $\textrm{m} \angle \textrm{TCA} = \alpha$?

RESOLUCIÓN

Tracemos los segmentos $\overline{\textrm{TC}}$ y $\overline{\textrm{TB}}$ por propiedad de la mediatriz $\textrm{TC} = \textrm{TB}$. Análogamente $\textrm{TP} = \textrm{TA}$. Notemos que los triángulos $\triangle \textrm{TPC}$ y $\triangle \textrm{TAB}$ son congruentes $\triangle \textrm{TPC} \cong \triangle \textrm{TAB}$ por el criterio de $\textrm{L.L.L}$. Note además que $\textrm{m} \angle \textrm{TBC} = \alpha + 10$ por ende $\textrm{m} \angle \textrm{TBA} = 74 - \alpha$ y como consecuencia de la congruencia $\textrm{m} \angle \textrm{TBA} = \textrm{m} \angle \textrm{TCA}\ \to\ 74 - \alpha = \alpha\ \to\ \alpha = 37$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{La medida del \'angulo TCA es}\ \textrm{m} \angle \textrm{TCA} = 37}$