un deposito rectangular con base cuadrada y parte superior abierta ha de tener un area total de 300ft halla las dimencionws del deposito que el volumen sea el máximo
Respuestas
Las dimensiones que hacen que el volumen del depósito sea máximo son:
Altura= 5 ft
Lado de la base= 10 ft
Explicación:
Se definen las siguientes variables:
x= lado de la base
y= altura del depósito
El volumen del depósito (función a maximizar) es:
V= x²y
Para maximizar la función, esta se debe expresar en términos de una solo variable, para ello se emplea una ecuación auxiliar:
La superficie total del depósito (abierto) es:
A= Alateral + Abase= 4xy + x²
A= 4xy + x²= 300 ft
Despejando:
y= (300 - x²)/ 4x
Reemplazando:
V= x²((300 - x²)/ 4x)
V= (x/4)(300 - x²)
V= 75x - x³/4 x>0
Se debe hallar el valor de x para que V sea máximo, para esto se determina la primera derivada y se iguala a cero para determinar los valores críticos. X debe ser positiva porque es una dimensión física.
V'= 0
V'= 75 - (3/4)x²=0
x= √100=10
Para verificar que el valor de x es un máximo, se halla la segunda derivada:
V''= -(3/2)x < 0
Como V''(10)<0, el valor de x es un máximo.
Las dimensiones que hacen que el volumen sea máximo son:
x= 10 ft
y= (300 - (10)²)/ 4(10)= 5 ft