Question

un deposito rectangular con base cuadrada y parte superior abierta ha de tener un area total de 300ft halla las dimencionws del deposito que el volumen sea el máximo​

Answer 1

Las dimensiones que hacen que el volumen del depósito sea máximo son:

Altura= 5 ft

Lado de la base= 10 ft

Explicación:

Se definen las siguientes variables:

x= lado de la base

y= altura del depósito

El volumen del depósito (función a maximizar) es:

V= x²y

Para maximizar la función, esta se debe expresar en términos de una solo variable, para ello se emplea una ecuación auxiliar:

La superficie total del depósito (abierto) es:

A= Alateral + Abase= 4xy + x²

A= 4xy + x²= 300 ft

Despejando:

y= (300 - x²)/ 4x

Reemplazando:

V= x²((300 - x²)/ 4x)

V= (x/4)(300 - x²)

V= 75x - x³/4                 x>0

Se debe hallar el valor de x para que V sea máximo, para esto se determina la primera derivada y se iguala a cero para determinar los valores críticos. X debe ser positiva porque es una dimensión física.

V'= 0

V'= 75 - (3/4)x²=0

x= √100=10

Para verificar que el valor de x es un máximo, se halla la segunda derivada:

V''= -(3/2)x < 0

Como V''(10)<0, el valor de x es un máximo.

Las dimensiones que hacen que el volumen sea máximo son:

x= 10 ft

y= (300 - (10)²)/ 4(10)= 5 ft