Question

extremos de una circunferencia. determine los valores maximos y minimos de x2+y2, sujeta a la restriccion x2-2x+y2+4y=0

Answer 1

Los valores máximos y mínimos de una función con restricciones se obtienen usando el método de los multiplicadores de Lagrange. En este caso, la función $f=x^{2}+y^{2}$ tiene un mínimo en (0,0, 0) y un máximo en (-2, -4, 20)

Explicación:

El método de los multiplicadores de Lagrange inicia por la construcción de una función L, compuesta por la suma de la función objetivo f y el producto de la función restricción g por el multiplicador de Lagrange α

L  =  f  +  αg

En el caso planteado:

$f=x^{2}+y^{2}$            $g=x^{2}-2x+y^{2}+4y$

$L=x^{2}+y^{2}+\alpha[x^{2}-2x+y^{2}+4y]$

Luego se hallan los extremos de L, los cuales coinciden con los extremos de la función objetivo f, pero con una dimensión menos.

Primero, hallamos los puntos críticos de L. Esto es derivar L con respecto a cada una de sus variables e igualar a cero todas ellas. Los puntos que satisfacen ese sistema de ecuaciones son los puntos críticos de L.

$\left \{ {{L_{x} =2x+2x\alpha-2\alpha=0 }\\ \atop \left\L_{y} =2y+2y\alpha+4\alpha=0 } \atop {L_{\alpha } =x^{2} -2x+y^{2} +4y=0 }} \right. }\right.$

La solución del sistema arroja dos puntos críticos:

x  =  0    y  =  0    α  =  0        ⇒         $f_{(0, 0)}=(0)^{2}+(0)^{2}=0$

x  =  -2    y  =  -4    α  =  -2        ⇒         $f_{(-2, -4)}=(-2)^{2}+(-4)^{2}=20$

Segundo, construimos el Hessiano o determinante formado por derivadas de segundo orden que nos permitirán decidir si el punto crítico considerado es un mínimo, Hessiano negativo, o un máximo, Hessiano positivo.

$H=\left[\begin{array}{ccc}0&g_{x}&g_{y}\\g_{x}&L_{xx} &L_{xy}\\g_{y}&L_{yx}&L_{yy}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&(2x-2)&(2y+4)\\(2x-2)&(2+2\alpha ) &0\\(2y+4)&0&(2+2\alpha )\end{array}\right]$

$H=-(2y+4)^{2} (2+2\alpha )-(2x-2)^{2}(2+2\alpha )$

Tercero, evaluamos H en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

H(0, 0)  =  -40    (negativo)    ⇒    f tiene un mínimo en el punto  (0, 0, 0)

H(-2, -4)  =  136    (positivo)    ⇒    f tiene un máximo en el punto  (-2, -4, 20)