Question

Hola buenas noches, alguien me puede resolver este ejercicio

Answer 1

La figura anexa nos permite comprobar que el área del rectángulo máximo inscrito en el segmento de parábola es el área de dicho segmento dividido por $\sqrt{3}$

Explicación:

1.- El área de un rectángulo es el producto de las longitudes de su base y su altura; mientras que el área de un segmento parabólico es dos terceras partes del producto de la longitud de la cuerda que lo cierra por la longitud del segmento del eje que va desde el vértice hasta dicha cuerda.

Usando la nomenclatura de la figura anexa:

Área del rectángulo  =  Arec  =  (2x)*(h  -  y)

Área del segmento parabólico  =  Apar  =  (2/3)(2j)*(h)

De la ecuación de la parábola   $y=kx^{2}$   podemos sustituir el punto (j, h) y despejar j en función de h:

$h=kj^{2}$    ⇒    $j=\sqrt{\frac{h}{k} }$

Por tanto:

Apar  =  $\frac{4h}{3} \sqrt{\frac{h}{k} }$

2.- Las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el segmento parabólico las hallamos usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos:

Arec  =  (2x)*(h  -  y)    

pero de la ecuación de la parábola sabemos que   y = kx²

por tanto         Arec  =  (2x)*(h  -  kx²)  =  2xh  -  2kx³

3.- Hallamos la primera derivada e igualamos a cero para obtener valores críticos:

d(Arec)/dx  =  2h  -  6kx²  =  0    ⇒    $x=\sqrt{\frac{h}{3k} }$

4.- Hallamos la segunda derivada y evaluamos en los valores críticos de hallados en 3.-:

d(d(Arec)/dx)/dx  =  -12kx  lo cual es un número negativo si evaluamos en   $x=\sqrt{\frac{h}{3k} }$

Esto significa que se está en presencia de un máximo de la función Arec.

5.- Hallamos el valor de y para calcular el área del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en el segmento de parábola:

$y=k(\sqrt{\frac{h}{3k} })^{2}=\frac{h}{3}$

Arec  =  $2\sqrt{\frac{h}{3k} }(\frac{2h}{3})=\frac{4h}{3}\sqrt{\frac{h}{3k} }$

6.- Comparamos Arec y Apar y observamos que:

Arec  =  $\frac{4h}{3}\sqrt{\frac{h}{3k} }$      ⇒

Arec  =  $(\frac{4h}{3} \sqrt{\frac{h}{k} })(\frac{1}{\sqrt{3} } )=(\frac{1}{\sqrt{3} })*Apar$

Comprobándose la razón dada en el enunciado.