Question

Se desea cerrar con una cuerda dos parcelas rectangulares
adyacentes(consecutivas) e iguales, que encierran entre las dos un area de
5000m 2 . Determinar:
a) La funcion que representa la longitud de la cuerda necesaria para encerrarlas.
b) Cuáles deberian ser las dimensiones de las parcelas(largo y ancho) para que
el gasto en cuerda sea minimo?

Answer 1

Respuesta:

La longitud de la cuerda está representada por el perímetro de ambas parcelas. Esa función nos permite, usando criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos, hallar las dimensiones de las parcelas que minimicen el gasto en cuerda.

Explicación:

a) La función que representa la longitud de la cuerda necesaria para encerrarlas.

1.- Elaboramos una gráfica que nos permita darle nomenclatura a la situación planteada. En la figura anexa se observan las dos parcelas rectangulares contiguas y la nomenclatura dada: x para la base del rectángulo exterior, y para la altura de dicho rectángulo.

2.- La longitud de la cuerda viene dada por la suma de los lados de las parcelas. Se observa en la figura anexa que se tienen dos lados horizontales (x) y tres lados verticales (y), por tanto, la longitud de la cuerda viene dada por la función:

Longitud=L=2x+3y m

b) ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de las parcelas (largo y ancho) para que  el gasto en cuerda sea mínimo?

1.- Procedemos a minimizar la función longitud. Para ello, esta función se expresa en términos de una sola variable, apoyándonos en la llamada ecuación auxiliar, que en este caso es el área dada:

$Area=xy=5000$⇒$y=\frac{5000}{x}$

De aqui se obtiene la función longitud solo en términos de x:

$L=2x+\frac{15000}{x}$

2.- Aplicamos el criterio de la primera derivada para hallar los puntos críticos de la función longitud; es decir, derivamos L y hallamos el o los valores de x que anulan esta derivada:

$\frac{dL}{dx}=2-\frac{15000}{x^{2}}$

$2-\frac{15000}{x^{2}}=0$

De esta ecuación se obtiene que $x=50\sqrt{3}$

3.- Verificamos que este valor de x corresponde a un mínimo de la función L, evaluando la segunda derivada de L en es valor de x:

$\frac{d^{2}L}{dx^{2}}=\frac{30000}{x^{3}}$

Al evaluar la segunda derivada en el valor de x obtenido en 2.-, se obtiene un número positivo; lo cual concuerda con la interpretación de un punto mínimo.

4.- Hallamos el valor correspondiente de y para el punto mínimo:

$y=\frac{5000}{50\sqrt{3} }=\frac{100\sqrt{3} }{3}$

5.- Conclusión: las dos parcelas, que encierran un área total de 5000 metros cuadrados, deben tener: $50\sqrt{3}$ metros de base y $\frac{100\sqrt{3} }{3}$ metros de altura para que el gasto en cuerda que las encierra sea mínimo. (aproximadamente 86.6 m x 57.7 m)