Question

Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria "X como el promedio entre los resultados obtenidos". Si la función de probabilidad de X es P, determinar

a) P(X >5)
b) P(X=2)
c) P(X=3)​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Probabilidad

$\textbf{Problema :}$

Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria $X$ como el promedio entre los resultados obtenidos. Si la función de probabilidad de $X$ es $P$. Determinar los casos para $P_{(X = 2)}$, $P_{(X=3)}$ y $P_{(X > 5)}$.

RESOLUCIÓN

Analicemos todas las posibles combinaciones que pueden darse al tirar dos dados, en la imagen adjunta se muestra todos los posibles resultados.

Sea $m$ el resultado de lanzar el primer dado y sea $n$ el resultado al lanzar el segundo dado. Para el caso $P_{(X = 2)}$ debe cumplirse lo siguiente.

$\dfrac{m+n}{2} = 2\ \to\ m+n = 4$

recuerde que $X=2$ nos indica que el promedio aritmético de los resultados es $2$. Entonces debemos hallar todos los pares de números que sumados sean $4$, tenga presente que $m$ y $n$ representan el resultado de lanzar un dado, por ende, no pueden ser mayores a seis ni menores que uno.

Encontremos de forma intuitiva todos los pares posibles.

$m+n = 4\ \to\ S = \{ (1;3),\ (2;2),\ (3;1)\}$

Este resultado nos indica que existen tres posibles casos favorables $\textrm{n}(S) = 3$ , y al ser el total de casos $\textrm{n}(\Omega) = 36$, con esto $P_{(X = 2)} = \dfrac{3}{36}$.

Análogamente.

$\dfrac{m+n}{2} = 3\ \to\ m+n = 6$

$m+n = 6\ \to\ S = \{ (1;5),\ (2;4),\ (3;3),\ (4;2),\ (5;1) \}$

Este resultado nos indica que existen cinco posibles casos favorables $\textrm{n}(S) = 5$ , y al ser el total de casos $\textrm{n}(\Omega) = 36$, con esto $P_{(X = 3)} = \dfrac{5}{36}$.

El procedimiento para encontrar $P_{(X > 5)}$ es un poco distinto, consideremos inicialmente el caso para $X = 6$.

$\dfrac{m+n}{2} = 6\ \to\ m+n = 12$

$m+n = 12\ \to\ S = \{ (6;6) \}$

Este resultado nos indica que existen solo un posible caso favorable $\textrm{n}(S) = 1$ , y al ser el total de casos $\textrm{n}(\Omega) = 36$, con esto $P_{(X > 5)} = \dfrac{1}{36}$. Note que es imposible obtener un resultado para cualquier valor de $X > 6$, ya que ello implica $m+n > 12$, lo cual es imposible, porque el máximo valor de $m+n$ es $12$ que ocurre cuando logramos un resultado $m = 6$ y $n = 6$.

RESPUESTA

$\boxed{P_{(X = 2)} = \dfrac{3}{36}}$

$\boxed{P_{(X = 3)} = \dfrac{5}{36}}$

$\boxed{P_{(X > 5)} = \dfrac{1}{36}}$