Question

Demuestra las siguientes igualdades a partir de la definición de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo que se muestra en la figura

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

seno = cat.opuesto/hipotenusa

coseno = cat.adyacente/hipotenusa

tangente  = cat.opuesto/cat.adyacente

cotangente = cat.adyacente/cat.opuesto

cosecante = hipotenusa/cat.opuesto

secante = hipotenusa/cat.adyacente

----

en la figura:

cateto opuesto = y

cateto adyacente = x

hipotenusa = z

sen α = y/z

cos α = x/z

tan α = y/x

cot α = x/y

csc α = z/y

sec α = z/x

---

teorema de pitagoras

(hipotenusa)² = (cat. opuesto)² + ( cat. adyacente)²

z² = y² + x²

----

demostramos

a) tanα = senα/cosα

y/x  = y/z / x/z

resolvemos

y/x = y.z/ x.z

simplificamos z

y/x = y/x

---

b) cot α = cos α/sen α

x/y  = x/z/ y/z

resolvemos

x/y = x.z/ y.z

simplificamos z

x/y = x/y

----

c) sec α = 1/cos α

z/x = 1 / x/z

resolvemos

z/x = 1/1 / x/z

z/x = 1.z / 1.x

simplificamos

z/x = z/x

----

d)sen α = 1 / cscα

y/z = 1/ z/y

resolvemos

y/z = 1/1 / z/y

y/z = 1.y /1.z

simplificamos

y/z = y/z

----

e) sen²α + cos²α = 1

(y/z)² + (x/z)² = 1

resolvemos

y²/z² + x²/z² = 1

(x² + y²) / z² = 1

por el teorema de pitagoras

z² = x² + y²

reemplazamos

z² / z² = 1

1 = 1

-----

f) sec²α = 1 + tan²α

(z/x)² = 1 + (y/x)²

resolvemos

z²/x² = 1 + y²/x²

z²/x² = (x² + y²)/x²

por pitagoras

z² = x² + y²

reemplazamos

z²/x² = z²/x²

----

g) 1 + cot²α = csc²α

1 + (x/y)² = (z/y)²

resolvemos

1  + x²/y² = z²/y²

(y² + x²)/y² = z²/y²

por pitagoras

z² = x² + y²

reemplazamos

z²/y² = z²/y²

-----

h) cot α = 1/ tan α

x/y = 1 / y/x

x/y = 1/1 / y/x

x/y = 1.x / 1.y

simplificamos

x/y = x/y