En el salto de longitud, una atleta se lanza en un ángulo por encima del suelo y cae a la misma altura, tratando de alcanzar la máxima distancia horizontal. Suponga que en la Tierra, ella permanece en el aire durante un tiempo T, alcanza una altura máxima h y una distancia horizontal D. Si ella saltara exactamente de la misma forma durante una competencia en Marte, donde gMarte es igual a 0.379 del valor de g en la Tierra, determine su tiempo en el aire, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada. Exprese cada una de estas tres cantidades en términos de su valor en la Tierra. Ignore la resistencia del aire en ambos planetas
Respuestas
Para determinar el tiempo en el aire del atleta, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada, tanto en la Tierra como en Marte, durante el salto de longitud, se pueden utilizar las ecuaciones cinemáticas del movimiento parabólico:
Componente de velocidad horizontal:
Vx= Vxo= VoCosθo= constante (1)
Componente de velocidad vertical:
Vy= Vyo-gt= VoSenθo-gt (2)
Componente de la posición horizontal:
x= Vxot= (VoCosθo)t (3)
Componente de posición vertical:
y= Vyot - (1/2)gt²= (VoSenθo)t - (1/2)gt² (4)
Tiempo en el aire:
Cuando se alcanza la altura máxima, Vy=0.
Utilizando la ecuación (2):
0= VoSenθo-gt₁
t₁= VoSenθo/ g
Donde t₁ es el tiempo necesario para llegar a la altura máxima. Debido a la simetría del movimiento vertical, transcurre un intervalo de tiempo idéntico para que el atleta retorne al suelo. Por tanto, el tiempo total en el aire es:
t= 2t₁
t= 2VoSenθo/ g
En Marte:
gmarte= 0.379g
tmarte= 2VoSenθo/ gmarte
tmarte= 2VoSenθo/ 0.379g
Altura máxima:
La altura máxima se presenta cuando t= t₁. Reemplazando la expresión de t₁ en la ecuación (4) y sustituyendo y por h:
h= (VoSenθo)(VoSenθo/ g) - (1/2)g(VoSenθo/ g)²
h= Vo²Sen²θo/2g
En Marte:
hmarte= Vo²Sen²θo/2(0.379g) = Vo²Sen²θo/0.758g
Distancia horizontal alcanzada:
El alcance, D, es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total que se permance en el aire, t= 2t₁.
Utilizando la ecuación (3):
D= (VoCosθo)2t₁ = (VoCosθo)*2VoSenθo/ g
Como 2θ= 2 senθ Cosθ
D= Vo²Sen2θo/ g
En Marte:
Dmarte= Vo²Sen2θo/ 0.379g