Question

En el salto de longitud, una atleta se lanza en un ángulo por encima del suelo y cae a la misma altura, tratando de alcanzar la máxima distancia horizontal. Suponga que en la Tierra, ella permanece en el aire durante un tiempo T, alcanza una altura máxima h y una distancia horizontal D. Si ella saltara exactamente de la misma forma durante una competencia en Marte, donde gMarte es igual a 0.379 del valor de g en la Tierra, determine su tiempo en el aire, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada. Exprese cada una de estas tres cantidades en términos de su valor en la Tierra. Ignore la resistencia del aire en ambos planetas

Answer 1

Para determinar el tiempo en el aire del atleta, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada, tanto en la Tierra como en Marte, durante el salto de longitud, se pueden utilizar las ecuaciones cinemáticas del movimiento parabólico:

Componente de velocidad horizontal:

Vx= Vxo= VoCosθo=  constante     (1)

Componente de velocidad vertical:

Vy= Vyo-gt= VoSenθo-gt       (2)

Componente de la posición horizontal:

x= Vxot= (VoCosθo)t          (3)

Componente de posición vertical:

y= Vyot - (1/2)gt²= (VoSenθo)t - (1/2)gt²      (4)

Tiempo en el aire:

Cuando se alcanza la altura máxima, Vy=0.

Utilizando la ecuación (2):

0= VoSenθo-gt₁

t₁= VoSenθo/ g

Donde t₁ es el tiempo necesario para llegar a la altura máxima. Debido a la simetría del movimiento vertical, transcurre un intervalo de tiempo idéntico para que el atleta retorne al suelo. Por tanto, el tiempo total en el aire es:

t= 2t₁

t= 2VoSenθo/ g

En Marte:

gmarte= 0.379g

tmarte= 2VoSenθo/ gmarte

tmarte= 2VoSenθo/ 0.379g

Altura máxima:

La altura máxima se presenta cuando t= t₁. Reemplazando la expresión de t₁ en la ecuación (4) y sustituyendo y por h:

h= (VoSenθo)(VoSenθo/ g) - (1/2)g(VoSenθo/ g)²

h= Vo²Sen²θo/2g

En Marte:

hmarte= Vo²Sen²θo/2(0.379g) = Vo²Sen²θo/0.758g

Distancia horizontal alcanzada:

El alcance, D, es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total que se permance en el aire, t= 2t₁.

Utilizando la ecuación (3):

D= (VoCosθo)2t₁ = (VoCosθo)*2VoSenθo/ g

Como 2θ= 2 senθ Cosθ

D= Vo²Sen2θo/ g

En Marte:

Dmarte= Vo²Sen2θo/ 0.379g