Question

Cgralual es la integral de
Sec^3Xdx en el tema de cálculo integral​

Answer 1

Hola..!! , Veamos

             INTEGRACIÓN  POR PARTES

para conocer el método de integración por partes se debe tener un solido conocimiento de su definición la cual enuncia lo siguiente

                                       $\int udv= uv- \int vdu$

La demostración y el método a seguir lo puedes ver en esta tarea:  https://brainly.lat/tarea/24979592

EJEMPLO:

                                          $I= \int sec^3(x)dx$

como se puede apreciar la integral no es tan fácil de conseguir su anti derivada por lo que se recurre a usar el método mencionado

1. sec(x) .sec²(x)  ¿Porque de esta forma? , porque queremos hacer una integral mucho mas sencilla para poder integral y aplicar integrales inmediatasx)                            

       sea :

                             $u=sec(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dv=sec^2(x)dx$                      

                         $du=sec(x).tan(x)dx \ \ \ \ \ \ \ \int dv=\int sec^2(x).dx$

                                                                         $v=tan(x)$

       Utilizando el método                    

           $\int sec(x).sec^2(x)dx= tan(x).sec(x)-\int tan(x).sec(x).tan(x).dx$

          $\int sec(x).sec^2(x)dx= tan(x).sec(x)-\int tan^2(x).sec(x).dx$

         $\int sec(x).sec^2(x)dx= tan(x).sec(x)-\int (sec^2(x)-1).sec(x).dx$

        $\int sec(x).sec^2(x)dx= tan(x).sec(x)-\int sec^3(x)dx+ \int sec(x).dx$

       $\int .sec^3(x)dx= tan(x).sec(x)-\int sec^3(x)dx+ \int sec(x).dx$                        

    $2\int .sec^3(x)dx= tan(x).sec(x)+ \int sec(x).dx$  

     recordar que:

                          $\int sec(x).dx= ln(|sec(x)+tan(x)|)+C$  

    Luego :

                     $2\int .sec^3(x)dx= tan(x).sec(x)+ ln(|sec(x)+tan(x)|)$    

                       $\int sec^3(x)dx=\cfrac{tan(x).sec(x)+ ln(|sec(x)+tan(x)|) }{2}$

     Como es una integral indefinida se le agrega su cte de integración

    Finalmente    

                     $\int sec^3(x)dx=\cfrac{tan(x).sec(x)+ ln(|sec(x)+tan(x)|) }{2}+C$    

Un cordial Saludo.