halla las dimensiones de un triangulo rectángulo de 5 cm de hipotenusa que puede generar un cono de volumen máximo al girar alrededor de uno de sus catetos
Respuestas
Se tiene un volumen máximo cuando las dimensiones de los catetos son 2.89 cm y 4.08 cm.
Explicación:
Se definen las variables x, y que representan las longitudes de cada uno de los catetos.
Por el Teorema de Pitágoras:
x²+y²= 5² -------> y²= 25 - x²
El volumen de un cono es:
V= (1/3)πr²h
Para este caso: r= y, h= x
V= (1/3)πy²x
Reemplazando:
V= (1/3)π(25 - x²)x= (1/3)π (25x - x³)
Se debe determinar el valor de x para que la función sea máxima, para esto se halla la primera derivada y se iguala a cero, para determinar el valor crítico de la función.
V'= (1/3)π(25 - 3x²)
V'= 0 ; 25- 3x² = 0
x²= 25/3 = √(25/3)
x debe ser positiva porque es una dimensión física.
Para verificar que el valor es máximo, se halla la segunda derivada:
V''= (1/3)π(-6x)
Cómo x es simpre positiva, V''(√(25/3)) < 0, lo cual implica que en x= √(25/3) hay un máximo.
La medida de los catetos será:
x= √(25/3)= 2.89 cm
y= √25 - 25/3= 4.08 cm