Question

Un granjero dispone de 4000M de material para cercar un terreno rectangular contiguo a un río de curso rectilíneo. No requiere cercar la orilla del río. ¿Cuales deben ser sus dimensiones del terreno para que su área sea máxima?

Answer 1

Las dimensiones del terreno para que su área sea máxima 2000 de base y 1000 de altura

Optimización:

P = 4000 m

Terreno rectangular

x: Base  

y: Altura  

Área de un rectángulo

A = x/y

Perímetro de un rectángulo, excluyendo la parte de la orilla al río:  

P = x+2y

x + 2y = 4000

x = 4000-2y  

Sustituimos en la ecuación del área:  

A= (4000-2y)•y  

A=4000y - 2y²  

Derivamos e Igualamos a 0:  

A' = 4000 - 4y

0 = 4000 - 4y  

y= 1000

 

x = 4000-2(1000)  

x = 2000  

Por lo tanto las dimensiones del terreno son:  

y = 1000  

x= 2000

El área máxima es de :

A= 1000m*2000m

A = 2.000.000 m²  

Answer 2

Las dimensiones del terreno para que el área cercada del terreno sea máxima son:

• Largo = 1000 m
• Ancho = 2000 m

¿Cuál es el área de un rectángulo y perímetro?

El área de un rectángulo es el área de la pared a construir.

A = largo × ancho

El perímetro de cualquier figura es la suma de la medida de sus longitudes.

P = 2largo + 2ancho

¿Cuáles deben ser sus dimensiones del terreno para que su área sea máxima?

Definir

• a: largo
• b: ancho

Sustituir datos en el perímetro;

P = 4000 = 2a + b

Despejar b;

b = 4000 - 2a

Sustituir b en A;

A = (a)(4000 - 2a)

A = 4000a - 2a²

Aplicar derivada;

$A'=\frac{d}{da}(4000a - 2a^{2} )$

A' = 4000- 2(2)a

A' = 4000 - 4a

Igualar a cero (A'=0);

0 = 4000 - 4a

4a = 4000

Despejar a;

a = 4000/4

a = 1000 m

Sustituir a en b;

b = 4000 - 2(1000)

b = 2000 m

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