Buenas tardes. estoy viendo derivadas.
Me pueden ayudar a realizar estos ejercicios por favor.
1. Una explosión de dinamita lanza una roca directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 150 pies/s. La roca alcanza una altura de S(t)= 160t – 16t2 pies después de t segundos.
a) ¿A qué altura llega la roca?
b) b. ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo subiendo? Y ¿Bajando?
c) c. ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t durante su vuelo (después de la explosión)?
d) d. ¿Cuándo llegará al suelo otra vez?
e) e. Obtén la gráfica del lanzamiento de la roca.
2. Una bola de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con velocidad constante, de 30 a 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál es la velocidad del cambio de volumen en el momento en que el radio medía 25 centímetros?
3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 18 m de alto y 8 m de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 litros por minuto, encontrar la velocidad de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 4 m.
Gracias.
Respuestas
1. Una explosión de dinamita lanza una roca directamente hacia arriba
2. La velocidad del cambio de volumen en el momento en que el radio medía 25 centímetros es de-1/250π cm/min.
3. El cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 4 m es a una velocidad de 0,001 m/min.
Explicación:
1. Una explosión de dinamita lanza una roca directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 150 pies/s. La roca alcanza una altura de S(t)= 160t – 16t² pies después de t segundos.
La roca alcanza una altura de s = 160t - 16t², después de t segundos.
s = 160t - 16t²
Al Derivar la ecuación e igualar a cero tenemos el tiempo
s´ = 160 – 32t
0=160-32t
t = 5 seg
a) ¿A qué altura llega la roca?
Tomando t = 5, que es cuando alcanza la altura máxima, sustituimos ese valor en la ecuación siguiente
s = 160t - 16t²
s = 160[5] – 16[5]²
s = 400 pies
b. ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo subiendo? Y ¿Bajando?
s = 160t - 16t²
256 = 160t - 16t²
16t² - 160 – 256 = 0
Ecuación de segundo grado que resulta en:
t = 2
t = 8
Sustituimos los valores de tiempo en ecuación de Velocidad
v = 160 – 32t
v = 160 – 32[2]
v = 96 pies/s → durante el ascenso
v = 160 – 32[8]
v = - 96 pies/s → durante el descenso
c. ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t durante su vuelo (después de la explosión)?
g = - 32pies/seg
d. ¿Cuándo llegará al suelo otra vez?
5 seg, llegar a su máxima altura, y regresar al cielo, tardo 10 seg
Hacemos s = 0
s = 160t - 16t²
0 = 160t - 16t²
Factorizamos
0 = t (160 - 16t)
t = 0 al momento del lanzamiento
160 - 16t = 0
16t = 160
t = 160/16
t = 10 s [es lo que tarda en chocar de nuevo en el suelo]
2. Una bola de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con velocidad constante, de 30 a 20 centímetros en 45 minutos. ¿Cuál es la velocidad del cambio de volumen en el momento en que el radio medía 25 centímetros?
Explicación:
Vo = 30cm/mi
Vf = 20 cm/min
Razon = -10cm/min
t = 45 min
r= 25 cm
¿Cuál es la velocidad del cambio de volumen en el momento en que el radio medía 25 centímetros?
Velocidad en función del tiempo:
V(t) = 4/2πrt³
V´(t) = -10
Derivamos:
-10=4πrt²
r´(t) = 25
Segunda derivada:
r´(t) = -10/4π(25)² = -10/2500π =-1/250π cm/min
3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 18 m de alto y 8 m de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de 10 litros por minuto, encontrar la velocidad de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 4 m.
Razón de cambio:
Datos:
y= 18 m
l = 8 m
r=?
dV/dt = 10lt/min (1m³/1000lt) = 0,01m³/min
Por relación de triángulos obtenemos r:
8/18 = r/h
r = 8h/18
r = 4h/9
Volumen de un cono:
V = 1/3πr²*h
V = 1/3π(4h/9)²*h
V = 1/3π16h³/81
V = π16h³/243
Derivamos:
0,01= 16πh²/81
dv/dt = πh³/18 +dh/dt
0,01*18/3πh²= dv/dt
0,18/3πh²= dv/dt
La velocidad de cambio del nivel del agua cuando la profundidad es de 4 m.
dv/dt = 0,18/3π(4)²
dv/dt = 0,18/3π16
dv/dt = 0,001 m/min