Un cascarón esférico de pared delgada, con masa m=5 kg y
radio r, parte del reposo y rueda hacia abajo sin deslizarse por la
pista que se muestra en la imagen. Los puntos A y B están en la
parte circular de la pista, cuyo radio es R=1 m. El diámetro de la
esfera es muy pequeño comparado con h0 y R, y la fricción por
rodamiento es despreciable.
a) ¿Cuál es la altura mínima h 0 para
la cual esta esfera dará una vuelta completa a la parte circular de
la pista?
b) ¿Qué tan fuerte empuja la pista sobre la esfera en el
punto B, que está al mismo nivel que el centro del círculo?
Respuestas
Cuando hay rodadura sin deslizamiento se conserva la energía mecánica del cascarón.
La energía cinética en cualquier punto de la trayectoria consta de dos partes: traslación más rotación.
Ec = 1/2 m V² + 1/2 I ω²
Para un cascarón esférico I = 2/3 m r²; sin deslizamiento ω = V/r
Reemplazamos:
Ec = 1/2 m V² + 1/2 . 2/3 m r² (V/r)² = 5/6 m V²
Se conserva la energía mecánica.
a) Para el punto A: (ho = H)
m g H = m g . 2 R + 1/2 m V²
Para que alcance a dar la vuelta completa al rizo el peso de la esfera debe ser igual a la fuerza centrípeta en ese punto.
m g = m V²/ R; V² = R g
Luego m g H = 2 m g R + 5/6 m R g; se cancela m g.
H = (2 + 5/6) R = 17/6 R = 17/6 . 1 m ≅ 2,83 m
b) Para el punto B la fuerza que empuja a la esfera es la fuerza centrípeta. Necesitamos la velocidad en ese punto.
m g H = m g R + 5/6 m V²
V² = 6/5 g (H - R)
Fc = m V² / R = m / R . 6/5 g (H - R)
Fc = 5 kg / 1 m . 6/5 . 9,80 m/s² (2,83 - 1) m ≅ 108 N
Saludos Herminio