Question

Un cascarón esférico de pared delgada, con masa m=5 kg y
radio r, parte del reposo y rueda hacia abajo sin deslizarse por la
pista que se muestra en la imagen. Los puntos A y B están en la
parte circular de la pista, cuyo radio es R=1 m. El diámetro de la
esfera es muy pequeño comparado con h0 y R, y la fricción por
rodamiento es despreciable.

a) ¿Cuál es la altura mínima h 0 para
la cual esta esfera dará una vuelta completa a la parte circular de
la pista?

b) ¿Qué tan fuerte empuja la pista sobre la esfera en el
punto B, que está al mismo nivel que el centro del círculo?

Answer 1

Cuando hay rodadura sin deslizamiento se conserva la energía mecánica del cascarón.

La energía cinética en cualquier punto de la trayectoria consta de dos partes: traslación más rotación.

Ec = 1/2 m V² + 1/2 I ω²

Para un cascarón esférico I = 2/3 m r²; sin deslizamiento ω = V/r

Reemplazamos:

Ec = 1/2 m V² + 1/2 . 2/3 m r² (V/r)² = 5/6 m V²

Se conserva la energía mecánica.

a) Para el punto A: (ho = H)

m g H = m g . 2 R + 1/2 m V²

Para que alcance a dar la vuelta completa al rizo el peso de la esfera debe ser igual a la fuerza centrípeta en ese punto.

m g = m V²/ R; V² = R g

Luego m g H = 2 m g R + 5/6 m R g; se cancela m g.

H = (2 + 5/6) R = 17/6 R = 17/6 . 1 m ≅ 2,83 m

b) Para el punto B la fuerza que empuja a la esfera es la fuerza centrípeta. Necesitamos la velocidad en ese punto.

m g H = m g R + 5/6 m V²

V² = 6/5 g (H - R)

Fc = m V² / R = m / R . 6/5 g (H - R)

Fc = 5 kg / 1 m . 6/5 . 9,80 m/s² (2,83 - 1) m ≅ 108 N

Saludos Herminio