Dos lamparas de 5 y 20 candelas estan separadas una distancia de 150 cm. Determinar un punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales.
Ayudenme xfa.
Respuestas
El punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales es de 57,92 cm
Datos:
S1 = 5 cm²
S2 = 50 cm²
d = 150 cm
Determinar un punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales.
La iluminación total entre las dos fuentes de luz, entonces
It(x) = I1(x) + I2(x)
x: es la distancia que las separa
De acuerdo a lo que dices de la iluminación en función de la distancia y de la intensidad, tenemos que
I1(x) = S1/x²
I2(x) = S2/(d-x)²
It(x) = S1/x² + S2/(d-x)²
El punto donde es mínima la iluminación se cumple que: dIt/dx = 0
dIt/dx = dI1/dx + dI2/dx
dI1/dx = d(S1/x²)/dx = -2S1/x³
dI2/dx = d(S2/(d-x)²)/dx = 2S2/(d-x)³
dIt/dx = -2S1/x³ + 2S2/(d-x)³
Igualamos a cero para obtener el minimo:
-2S1/xmin³ + 2S2/(d-xmin)³ = 0
S2*xmin³ = S1*(d-xmin)³
(S2/S1)*xmin³ = (d-xmin)³
Sacamos raiz cubica en ambos lados, y hacemos
K = ∛(S2/S1), nos queda:
K*xmin = d-xmin
(1+k)xmin = d
xmin = d/( 1+√(S2/S1) )
Suponiendo que x=0 es la posición de S1, y que x=d es la posición de S2, el mínimo de iluminación será en:
xmin = d/( 1+∛(S2/S1) )
x min = 150/1+∛4 = 57,92 cm