Question

uno de los catetos de un triangulo rectángulo mide 24,7 cm y el angulo opuesto a este cateto mide 80°. Ayúdenme a resolverlo porfa

Answer 1

El cateto denotado como "a" mide aproximadamente 4.335 centímetros

La hipotenusa "c" mide aproximadamente 25.081 centímetros

El ángulo faltante tiene un valor de 10°

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Empleamos la notación habitual para los triángulos rectángulos

Donde conocemos el ángulo B de 80° y el valor del cateto denotado como "b" de 24.7 centímetros

Siendo el cateto "b" el cateto opuesto al ángulo agudo conocido y si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Hallamos el valor del cateto "a" mediante la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(80)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(80)^o =\frac{b }{ a} }}$

$\boxed { \bold { tan(80)^o =\frac{ 24.7 \ cm }{ a } }}$

$\boxed { \bold {a =\frac{ 24.7 \ cm }{ tan(80)^o } }}$

$\boxed { \bold {a =\frac{ 24.7 \ cm }{ 5.6712818196177 } }}$

$\boxed { \bold {a \approx 4.355276423 \ cm }}$

$\large\boxed { \bold {a \approx 4.335 \ cm }}$

El cateto "a", adyacente al ángulo dado, mide aproximadamente 4.335 centímetros

Conocemos el ángulo B de 80° y el valor del cateto denotado como "b" de 24.7 centímetros

Siendo el cateto "b" el cateto opuesto al ángulo agudo conocido y si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Hallamos el valor de la hipotenusa "c" mediante el seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold {sen (80)^o = \frac{ cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(80)^o =\frac{ b}{ c } }}$

$\boxed { \bold { sen(80)^o =\frac{ 24.7 \ cm }{ c } }}$

$\boxed { \bold { c =\frac{ 24.7 \ cm }{ sen ( 80 )^o } }}$

$\boxed { \bold { c =\frac{ 24.7 \ cm }{ 0.98480077530122 } }}$

$\boxed { \bold {c \approx 25.08103731 \ cm }}$

$\large\boxed { \bold {c \approx 25.081\ cm }}$

La hipotenusa "c" mide aproximadamente 25.081 centímetros

Hallamos el valor del ángulo faltante A

Como la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Siendo el triángulo rectángulo uno de sus ángulos es un ángulo recto, es decir de 90°

Por enunciado conocemos el valor de uno de los dos ángulos agudos del triángulo rectángulo, el cual es de 80°

Planteando

$\boxed { \bold {180^o = 90^o + 80^o + A }}$

$\boxed { \bold {A= 180^o - 90^o - 80^o }}$

$\large\boxed { \bold {A= 10^o }}$

El ángulo faltante del triángulo rectángulo tiene un valor de 10°