Question

Las tejas de estrella se forman a partir de un rombo ABCD con lados de longitud 1 y un ángulo interior de 72°. Primero se ubica el punto P de la diagonal AC que está a una distancia 1 del vértice C y luego se dibujan los segmentos PB y PD, como se muestra en la figura. Las dos tejas formadas reciben el nombre de dardo y cometa.
a. Hallar la medida en grados de los ángulos BPC, APB y ABP. b. Calcule la longitud del segmento BP.

Answer 1

El valor de BP es 0,61; los ángulos BPC=69,51; APB=110,49; ABP=33,51

El procedimiento para este ejercicio es aplicando los teoremas del seno y el coseno, y observar bien la imagen dada, te recomiendo dibujarla aparte e ir viendo todo los datos que te dan, adjunto una imagen representado todos los valores calculados.

Sabemos que la suma de los ángulos internos de un polígono debe dar 360 grados, aparte que el polígono dado es un rombo regular por lo tanto los ángulos son iguales en pares, quiero decir que el dato que te dan de 72, efectivamente el opuesto a el, también es 72; y los otros dos cuando los calculemos va a ser el mismo valor para ambos, de esta manera:

360-72-72=216

Como dije son dos ángulos iguales por lo tanto dividimos ese valor en dos;

216/2= 108 cada angulo

Aplicamos el teorema del coseno par conseguir el valor de BP

$BP^{2}$=$BC^{2}$+$PC^{2}$-2(BC)(PC)(CosαC)

El Angulo αC es 36 debido a que; la linea que me corta el angulo 72 como va de extremo a extremo, corta a la mitad se angulo, y aparte es el angulo opuesto al lado que quiero buscar.

$BP^{2}$=$1^{2}$+$1^{2}$-2(1)(1)(Cos(36))

BP=0,61

Ya teniendo este valor, se nos facilita para realizar el teorema del seno;

$\frac{BP}{SenαC } =\frac{PC}{SenαB}$

Los ángulos αC ,αB son los ángulos opuestos al lado que voy  a utilizar.

$\frac{0,61}{Sen(36) } =\frac{1}{SenαB}$

αB=74,49

Para calcular el resto de los ángulos usamos trigonometria.

La suma de los ángulos internos de un triangulo es 180,entonces:

BPC=180-74,49-36

BPC=69,51

Para APB:

APB=180-69,51

APB=110,49

Para ABP:

ABP=108-74,49

ABP=33,51