Question

Calcular el ángulo comprendido entre los siguientes planos.

L1=x-2y+z+3=0
L2=y+z-1=0

Answer 1

A partir de los vectores normales de los planos dados y la fórmula de cálculo del Coseno del ángulo formado por estos vectores, se llega a determinar que el ángulo entre los planos L1 y L2 es de 73.22º.

Explicación paso a paso:

1.- El ángulo entre los planos L1 y L2 se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

$Cos\alpha =\frac{ValorAbsoluto(n1.n2)}{\sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2} }*\sqrt{x2^{2}+y2^{2}+z2^{2} }}$

donde n1  y  n2 son los vectores normales de los planos L1 y L2, respectivamente,  n1.n2 es el producto escalar entre los vectores y α es el ángulo formado por esos vectores.

2.- Los vectores normales se hallan fácilmente a partir de las ecuaciones generales de los planos, usando los coeficientes de las variables x, y, z:

Plano L1:  n1  =  (1, -2, 1)

Plano L2:     n2  =  (0, 1, 1)

3.- Conociendo los vectores normales, obtenidos en 2.-, se calculan sus módulos y el producto escalar entre ellos:

Módulo n1 = $\sqrt{x1^{2}+y1^{2}+z1^{2} }$ = $\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{6}$

Módulo n2 = $\sqrt{x2^{2}+y2^{2}+z2^{2} }$ = $\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{2}$

n1.n2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 = (1)(0) + (-2)(1) + (1)(1)  =  -1

4.- Sustituimos los resultados obtenidos en 3.- en la expresión dada en 1.- para el cálculo del Coseno del ángulo entre los vectores normales:

$Cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{6}*\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{1}{2*\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

5.- Finalmente se obtiene el ángulo entre los planos L1 y L2, al calcular el Arco coseno del resultado obtenido en 4.-.

α  =  ArcCos($\frac{\sqrt{3}}{6}$)  =  73.22º