Question

Sea la ecuacion polinomial
$3x^{3} +5x-8=0$
de raìces $\alpha ,\beta ,\pi$,determine el valor de
E=$(\alpha +\beta)^{3}+(\alpha +\pi )^{3}+(\beta +\pi)^{3}$

Answer 1

El valor de E es igual a -8.

Para poder calcular E primero debemos hallar las raíces del polinomio de grado tres descrito en el enunciado, para esto aplicaremos regla de Ruffini de la forma como se muestra en la figura; para determinar cuales son los posibles números para aplicar Ruffini observamos el término independiente de la ecuación y seleccionaremos los números que sean divisores de este.

En este caso, el término independiente es -8, por lo que los posibles candidatos para aplicar Ruffini serán ±1; ±2; ±4 y ±8.

Como se muestra en la figura, el número utilizado fue 1, para el cual se obtiene que la primera raíz del polinomio es $X_{1} = 1$

Más aun, si nos fijamos en los coeficientes que resultan en el cociente y escribimos el polinomio resultante como sigue

$3x^2 + 3x + 8$

Podemos darnos cuenta que las raíces de este serán imaginarias, por lo que no tiene sentido continuar aplicando Ruffini. Más bien, determinaremos las dos raíces restantes por medio de la resolvente, de esta forma:

$\frac{-3+-\sqrt{(3)^2-4*3*8}}{2*3}=\frac{-3+-\sqrt{9-96} }{6}=\frac{-3+-\sqrt{87}i}{6}\\\\X_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{87}i}{6} \\\\ X_{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{87}i}{6}$

De esta forma, ahora podemos escribir:

α = 1

β = $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{87}i}{6}$

π = $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{87}i}{6}$

Ahora solo debemos sustituir α, β y π en la expresión de E dada en el enunciado para obtener el valor de E. Es conveniente en este momento recordar las fórmulas de productos notables del cubo de la suma y el cubo de la diferencia, ya que nos serán útiles en este cálculo, estas fórmulas son:

$((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\\\(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Entonces, sustituimos  α, β y π en la expresión y obtenemos:

$E=(1+ (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{87}}{6}))^3+(1+(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{87}}{6}))^3+(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{87}}{6})+(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{87}}{6}))^3\\\\E=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{87}}{6}))^3+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{87}}{6}))^3-1$

En este punto aplicamos las fórmulas que recordamos arriba y desarrollamos la expresión como sigue:

$E=(\frac{1}{2})^3+3(\frac{1}{2})^2\frac{\sqrt{87}i}{6}+3\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{87}i}{6})^2+(\frac{\sqrt{87}i}{6})^3+(\frac{1}{2})^3-3(\frac{1}{2})^2\frac{\sqrt{87}i}{6}+3\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{87}i}{6})^2-(\frac{\sqrt{87}i}{6})^3-1\\\\E=\frac{1}{8}+\frac{3}{2}\frac{87}{36}(-1)+\frac{1}{8}+\frac{3}{2}\frac{87}{36}(-1)-1\\\\E=\frac{1}{4}-2\frac{3}{2}\frac{87}{36}-1\\\\E=-\frac{3}{4}-\frac{87}{12}\\\\E=-\frac{3}{4}-\frac{29}{4}\\\\E=-\frac{32}{4}=-8$

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