Question

Se extraen 4 cartas de una vez de una baraja española (40 cartas). Calcula las siguientes
probabilidades.
a) Aparece un rey
b) No aparecen ni ases ni reyes
c) Aparecen 2 ases

Answer 1

La probabilidad de que aparezca un rey es de: 0.3125, de que no aparezca ni ases ni rey es de: 0.56582 y de que aparezcan dos ases es de 0.04136

Una distribución hipergeometrica es una distribución donde se toman aleatoriamente de un grupo de N elementos "n" donde en el grupo de elementos hay C elementos que cumplen con una característica deseada y se desea saber la probabilidad de que en el grupo tomado existan "x" elementos con dicha característica.

Dicha probabilidad se calcula con la ecuación:

$P(X=x) = \frac{\frac{C!}{(C-x)!x!}*\frac{(N-C)!}{(N-C-n+x)!(n-x)!}}{\frac{N!}{(N-n)!*n!}}$

En este caso N = 40 y n = 4

a) Aparece un rey: en una baraja española hay 4 reyes.

C= 4

$P(X=1) = \frac{\frac{4!}{(4-1)!1!}*\frac{(40-4)!}{(40-4-4+1)!(4-1)!}}{\frac{40!}{(40-4)!*4!}}$

$P(X=1) = \frac{4*\frac{36*35*34*33!}{33!*6}}{\frac{40*39*38*37*36!}{36!*24}}$

$P(X=1) = \frac{4*\frac{36*35*34}{6}}{\frac{40*39*38*37}{24}} = \frac{\frac{171360}{6}}{\frac{2193360}{24}} = \frac{28560}{91390} =0.3125$

b) No aparecen ni ases ni reyes: en una baraja española hay 4 ases y 4 reyes, calculemos la probabilidad de que salga una donde C= 8

$P(X=1) = \frac{\frac{8!}{(8-1)!1!}*\frac{(40-8)!}{(40-8-4+1)!(4-1)!}}{\frac{40!}{(40-4)!*4!}}$

$P(X=1) = \frac{8*\frac{32*31*30*29!}{29!*6}}{\frac{40*39*38*37*36!}{36!*24}}$

$P(X=1) = \frac{8*\frac{32*31*30}{6}}{\frac{40*39*38*37}{24}} = \frac{\frac{238080}{6}}{\frac{2193360}{24}} = \frac{39680}{91390} =0.43418$

Ahora la probabilidad de que no salga ninguno es:

1-0.43418 = 0.56582

c) Aparecen 2 ases: en este caso C= 4 y queremos encontrar la probabilidad de que x = 2

$P(X=2) = \frac{\frac{4!}{(4-2)!2!}*\frac{(40-4)!}{(40-4-4+2)!(4-2)!}}{\frac{40!}{(40-4)!*4!}}$

$P(X=2) = \frac{6*\frac{36*35*34!}{34!*2}}{\frac{40*39*38*37*36!}{36!*24}}$

$P(X=2) = \frac{6*\frac{36*35}{2}}{\frac{40*39*38*37}{24}} = \frac{\frac{7560}{2}}{\frac{2193360}{24}} = \frac{3780}{91390} =0.04136$