calcula el valor de la funcion f(x)=sen (x) en el punto x=0.5 utilizando la representacion de seno como serie de mclaurin
Respuestas
Utilizando la representación del seno como serie de mclaurin obtenemos que sen(0.5)≈0.479425533
Una serie de Mclaurin es unas erie de Taylor centrada en el punto x = 0. Entonces el polinomio de Mclaurin para una función f(x) es:
p(x) = f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+f⁴(x) x⁴/4!+...
Procedemos al desarrollo de la serie de McLaurin con la función sen(x).
f(x) = sen(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sen(x)
f'''(x) = -cos(x)
f⁽⁴⁾(x) = sen(x)
f⁽⁵⁾(x)= cos(x)
Obtenemos un ciclo pues vemos que la cuarta derivada coincide con la primera.
Ahora evaluamos en los puntos:
f(0) = sen(0) = 0
f'(0) = cos(0) = 1
f''(0) = -sen(0) = 0
f'''(0) = -cos(0) = -1
f⁽⁴⁾(0) = sen(0) = 0
f⁽⁵⁾(0)= cos(0)= 1
Entonces la serie o polinomio de mclaurin es:
p(x) = 0+1*x+0*x²/2!+-1*x³/3!+0*x⁴/4!+1*x⁵/5!+...
Luego encontramos la aproximación para x = 0.5, lo haremos hasta el orden 7, y el resto sera el error de aproximación y son términos de 9 orden, pues en como vemos tenemos potencias impares.
Por lo tanto sen(0.5)≈0.479425533
Si calculamos el valor exacto del sen en pi radianes. es:
sen(0.5) = 0.479425538
y vemos que el error viene a partir del 9no termino