Question

calcula el valor de la funcion f(x)=sen (x) en el punto x=0.5 utilizando la representacion de seno como serie de mclaurin

Answer 1

Utilizando la representación del seno como serie de mclaurin obtenemos que sen(0.5)≈0.479425533

Una serie de Mclaurin es unas erie de Taylor centrada en el punto x = 0. Entonces el polinomio de Mclaurin para una función f(x) es:

p(x) = f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+f'''(0)x³/3!+f⁴(x) x⁴/4!+...

Procedemos al desarrollo de la serie de McLaurin con la función sen(x).

f(x) = sen(x)

f'(x) = cos(x)

f''(x) = -sen(x)

f'''(x) = -cos(x)

f⁽⁴⁾(x) = sen(x)

f⁽⁵⁾(x)= cos(x)

Obtenemos un ciclo pues vemos que la cuarta derivada coincide con la primera.

Ahora evaluamos en los puntos:

f(0) = sen(0) = 0

f'(0) = cos(0) = 1

f''(0) = -sen(0) = 0

f'''(0) = -cos(0) = -1

f⁽⁴⁾(0) = sen(0) = 0

f⁽⁵⁾(0)= cos(0)= 1

Entonces la serie o polinomio de mclaurin es:

p(x) = 0+1*x+0*x²/2!+-1*x³/3!+0*x⁴/4!+1*x⁵/5!+...

$= x-\frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...$

Luego encontramos la aproximación para x = 0.5, lo haremos hasta el orden 7, y el resto sera el error de aproximación y son términos de 9 orden, pues en como vemos tenemos potencias impares.

$P(0.5)= 0.5-\frac{0.5^{3}}{6} +\frac{0.5^{5}}{120}-\frac{0.5^{7}}{5040}+...$

$P(0.5)= 0.5-\frac{0.125}{6} +\frac{0.03125}{120}-\frac{0.0078125}{5040}$

$P(0.5)= 0.5-\frac{0.125}{6} +\frac{0.03125}{120}-\frac{0.0078125}{5040}= 0.4794425532$

Por lo tanto sen(0.5)≈0.479425533

Si calculamos el valor exacto del sen en pi radianes. es:

sen(0.5) = 0.479425538

y vemos que el error viene a partir del 9no termino