Question

Encuentre la ecuación de la elipse que satisface las siguientes condiciones: sus vértices están en (2,15) y (2,-1) y pasa por el punto (-3,7). Determine las coordenadas de sus focos, su excentricidad y trace sus gráfica.

Answer 1

Tenemos dos vértices:  (2,15) y (2,-1)

Y un punto: (-3,7)

Y sabemos que la ecuación es de la forma:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Sabemos que el centro de la elipse se encuentra en el punto medio de la recta que pasa por sus vértices, es decir, hay que hallar el punto medio que equidista de los dos vértices:

Sumamos los punto (2,15) + (2,-1) = (4,14) y luego dividimos entre dos (4,14)/2= (2,7) dicho punto es el centro, osea (h,k)=(2,7).

Nos faltan a y b.

a es la distancia del centro a uno de sus vertices, es decir, la distancia de (2,15) a (2,7) pero como la elipse esta de forma vertical entonces b seria dicha distancia:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}\\\\d=\sqrt{(2-2)^{2}+(15-7)^{2}}\\\\d=\sqrt{8^{2}}\\\\d=8$

Por lo tanto b=8

Ahora fijate que el punto (-3,7) que te dan se encuentra a la misma altura "y" que el centro (2,7) por lo tanto la distancia entre estos dos seria a, pues a es la distancia del centro al vertice del eje menor (en este caso ya que la elipse esta vertical).

Entonces:

$d=\sqrt{(-3-2)^{2}+(7-7)^{2}}\\\\d=\sqrt{(-5)^{2}}\\\\d=\sqrt{25}\\\\d=5$

Por lo tanto a=5

Ahora solo sustituimos en la ecuación:

$\frac{(x-2)^{2}}{5^{2}}+\frac{(y-7)^{2}}{8^{2}}=1$

Esa seria la ecuacion.