Question

Suponga que el 10% de los campos en una región agrícola determinada están infestados con el gusano Helicoverpa armigera de la mazorca. Se seleccionan de manera aleatoria 150 campos de esta región y se inspeccionan para ver si están infestados.

a. ¿Cuál es el número promedio de campos muestreados que están infestados?
b. ¿Dentro de que límites esperaría usted hallar el número de campos infestados, con probabilidad aproximada de 95%?

Answer 1

Determinamos el número de campos de mazorca infestados por gusanos:

• Se espera que en una muestra de 150 campos, 15 estén infestados.
• Con un nivel de confianza del 95% se espera que el número de campos infestados en la muestra sea 10% ± 8%, es decir entre 2% y 18% estarán infestados.

Datos:

1. Proporción de la población: $\overline{X} = 10\% = 0,10$

2. Número de campos seleccionados: n = 150

3. Nivel de confianza: 95%

Procedimientos:

Para determinar el número de campos muestreados que pueden estar infestados, multiplicamos la proporción de la población con el número de campos seleccionados:

nₓ = (0,10) × (150) = 15.

Para determinar el intervalo en el que se podría encontrar los campos infestados con un 95%, debemos considerar que la distribución es normal, además la muestra el aleatoria como lo indica el enunciado. Por tanto podemos definir el intervalo de confianza como sigue:

$\boxed{\mu = \overline{X} \pm Z_{\frac{\alpha }{2} } *\frac{S}{\sqrt{n}}}$

Como no conocemos la varianza, establecemos esta varianza como máxima, es decir que represente la mayor dispersión entre valores V = (0,5)×(1 - 0,5) = 0,25. Por lo tanto la desviación será: $S =\sqrt{0,25}  = 0,5$.

Queda por obtener el parámetro $Z_\frac{\alpha }{2}$, que se puede obtener a partir de las tablas de probabilidad Z, ubicando la probabilidad (1 - (0,05/2)) = 0,975 que corresponderá al valor Z requerido. Otra opción es obtener el valor por medio de Excel usando la formula =DISTR . NORM . ESTAND . INV (0,975). Así tenemos que Z = 1,96.

Al sustituir en la formula para determinar el intervalo obtenemos lo siguiente:

$\mu = 0,10 \pm 1,96 *\frac{0,5}{\sqrt{150}}$

Esto resulta en 0,10 ± 0,08. Que corresponde 0,02 ≤ 0,10 ≤ 0,18, es decir el número de campos infestados que se podrán encontrar en la muestra estará entre 2 y 18%.