Question

Obtén la ecuación de la parábola de vértice en el origen y cuyo lado recto es el diámetro vertical de la circunferencia x2+ y2– 6x – 27 = 0

Answer 1

Ecuaciones de la parabola y de la circunferencia. La ecuacion de la parabola cuyo lado recto es el diametro vertical de la circunferencia x2+y2-6x-27=0 es $x=\frac{1}{12}y^{2}$.

• Primero hallamos el valor del radio y por lo tanto el diametro de la circunferencia.
• $x^{2} +y^{2}-6x-27=0\\ (x-3)^{2} +y^{2} =36$
• De la anterior ecuacion deducimos que el radio $r=\sqrt{36}=6$
• Tambien sabemos que el diametro es dos veces el radio, entonces el diametro es 12.
• La distancia focal p es la distancia entre el vertice y el foco asi como la distancia entre el vertice y la directriz. Hallaremos p:
• Lado recto=4p, el lado recto es 12, entonces p=12/4=3.
• Reemplazamos en la formula de la parabola tomando en cuenta que el lado recto de la parabola es el diametro vertical de la circunferencia.
• $(x-0)=\frac{1}{4p}(y-0)^{2}\\  x=\frac{1}{4*3}y^{2}\\x=\frac{1}{12}y^{2}$
• Para entenderlo mejor ver la grafica adjunta, observando que abre a la derecha.