Question

Una cerveza fría, inicialmente a 35°F, se calienta hasta 40°F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70°F. ¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos?

Answer 1

Aplicacion de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ley de enfriamiento de Newton. En 20 minutos la temperatura sera 57.5.

1. Recopilamos la informacion que nos dan, vemos que en el tiempo 0 la temperatura de la cerveza es 35°F y en t=3 minutos la temperatura es 40°F. La temperatura ambiente es de 70°F.
2. De acuerdo a la ley de Newton aplicada a los problemas de enfriamiento obtenemos la ecuacion $\frac{dT}{dt}=\beta(T-Ta)$. Donde Ta es la T ambiente. En este caso Ta>T
3. $dT=\beta(T)70dt$.
4. Esta es una ecuacion de variables separarables, entonces multiplicamos ambos terminos por $\frac{1}{T-70}$.
5. Nos queda $\frac{1}{T-70}dT=\beta*dt$
6. Desarrollamos integrando ambos lados. Recordando que la temperatura ambiente es mayor que T, cambiamos el signo respectivo.
7. $\int\limits^a_b {\frac{-1}{70-T} } \, dT=\int\limits^a_b {\beta } \, dt$
8. ln l70-Tl=βt+C, donde C es una constante que debemos hallar.
9. Para hallar C, aplicamos la condicion T(0)=35, es decir reemplazando en la ecuacion del numeral 8, t=0 y T=35.
10. Nos queda ln l70-35l =β(0)+C=ln 35=C.
11. Nuestra ecuacion va en ln l70-Tl=βt+ln 35.
12. La constante β de proporcionalidad se halla aplicando T(3)=40 a la ecuacion del numeral 11.
13. ln l70-40l=3β+ln 35. (ln 30 - ln 35)/3=β.
14. Por propiedades de logaritmo $\beta=ln\frac{30}{35}/3$.
15. $\beta=ln{\frac{6}{7} ^{1/3}}$
16. Nuestra ecuacion queda $ln l70-Tl=ln(\frac{6}{7}^1/3)t+ln35$
17. Aplicando mas propiedades de ln llegamos a $lnl70-Tl=ln*(35*\frac{6}{7}^{\frac{t}{3} })$
18. Aplicando e para eliminar los ln llegamos a $70-T=35(\frac{6}{7}^{\frac{t}{3} }  )\\ T=70-35(\frac{6}{7}^{\frac{t}{3} })$
19. Ahora aplicamos t=20 para saber la T en ese momento.
20. $T=70-35(\frac{6}{7}^{\frac{20}{3} })=35(0.857x^{6.666} )=35(0.357)= 12.5$=57.5