Question

Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro el origen que sea tangente a la recta 8x-15y -12 = 0

ayuda porfavor​

Answer 1

Vamos a recaudar datos

1) Es tangente a la recta 8x-15y-12=0

2) Tiene centro en el orígen. C=(0,0)

Ahora sabemos que la ecuación de la circunferencia tiene la siguiente forma.

${(x -h )}^{2} + {(y - k)}^{2} = {r}^{2}$

Con centro (h,k)

Pero aquí la condición es que el centro esté en el orígen entonces la ecuación queda.

${x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2}$

Lo único que nos falta encontrar es el radio de la circunferencia para poder encontrar su ecuación.

Lo que vamos a hacer es encontrar la distancia del centro a la recta tangente ya que toca a la circunferencia en un solo punto entonces eso nos indicaría el radio.

La ecuación de distancia de un punto a una recta es la siguiente.

$d = \frac{ |Ax+By+C| }{ \sqrt{ {A}^{2} + {B}^{2} } }$

Donde

A=coeficiente de "x" en la recta.

B=coeficiente de "y" en la recta.

D=Término independiente en la recta.

x=coordenada en "x" del punto.

y=coordenada en "y" del punto.

Bueno vamos a encontrar esos datos.

Recta: 8x-15y-12=0

Punto: C=(0,0)

A=8

B=-15

C=-12

x=0

y=0

Encontramos la distancia.

$d = \frac{ |(8)(0)+( - 15)(0) - 12| }{ \sqrt{ {8}^{2} + {( - 15)}^{2} } }$

$d = \frac{ |- 12| }{ \sqrt{ 64 + 225}}$

$d = \frac{ 12 }{ \sqrt{ 289}}$

$d = \frac{ 12 }{17}$

Ese sería el radio de la circunferencia entonces la ecuación quedaría.

${x}^{2} + {y}^{2} = {r}^{2}$

${x}^{2} + {y}^{2} = { (\frac{12}{17}) }^{2}$

${x}^{2} + {y}^{2} = \frac{144}{289}$