La velocidad de una masa de 0.500 kg en un resorte está dada en función del tiempo por vx(t) = (3,6cm/s)sen[(4,71rad/s)t − π/2] Calcule a) el periodo, b) la amplitud, c) la aceleración máxima de la masa y d) la constante de fuerza del
Respuestas
a) El periodo es T = 1.33 seg .
b) La amplitud es A = 7.64 mm.
c) La aceleración máxima de la masa es a max=0.169 m/seg2
d) La constante de fuerza es K = 11.1 N/m.
El periodo, la amplitud, la aceleración máxima y la constante de fuerza se calculan mediante la aplicación de las fórmulas del movimiento armónico simple M.A.S , como se muestra a continuación :
m = 0.500Kg
Vx(t)= ( 3.6 cm/seg)*sen (4.71 rad/seg* t - π/2 )
La fórmula de la velocidad Vx(t) es :
Vx(t)= ω* A * sen (ω* t + Φ)
ω = 4.71 rad/seg
a) ω = 2π/T se despeja el periodo T:
T = 2π/ω = 2π/4.71 rad/seg
T = 1.33 seg .
b) ω* A = 3.6 cm/seg
Se despeja A :
A = 3.6 cm/seg /4.71 rad/seg
A = 0.764 cm * 10 mm/1cm
A = 7.64 mm
c) a max = ω²*A
a max = ( 4.71 rad/seg )²* 0.764cm * 1m/100cm
a max = 0.169 m/seg2
d) K = 4π²*m/T²
K = 4π²*0.500 kg/(1.33 seg )²
K = 11.1 N/m .
Partiendo del ecuación de velocidad del resorte se tiene que:
- Periodo = 1.334 s.
- Amplitud = 0.76 cm.
- Máxima aceleración = 17 cm/s^2.
- Constante de elasticidad = 11.9 N/m.
Antes de explicar como se obtienen los valores, debemos entender la ecuación del movimiento armónico simple.
¿Cómo es el movimiento armónico simple?
El cuerpo su posición en el tiempo con una amplitud A y con una frecuencia angular ω según la ecuación:
x(t) = A*sen(ωt+Φ)
La ecuación de la velocidad es:
v(t) = ω*A*cos(ωt+Φ)
Y la ecuación de la aceleración:
a(t) = ω^2*A*sen(ωt+Φ)
En este caso:
v(t) = 3.6*cos(4.71t-π/2) cm/s
- Parte a): Determinación del período:
El período se determina con:
T = 2π/ω = 2π/4.71 = 1.334 s
- Parte b): Determinación de la amplitud:
De la ecuación de velocidad se tiene:
ω*A = 3.6
4.71*A = 3.6
A = 0.76 cm
- Parte c): aceleración máxima:
Amax = ω^2*A
Amax = 4.71^2*0.76
Amax = 17 cm/s^2
- Parte d): Constante de elasticidad del resorte:
Se puede determinar ya que se conoce la velocidad angular:
ω = √(K/m)
K = m*ω^2
K = 0.5*4.71^2
K = 11.09 N/m
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