buenaaa nocheees alguien seria tan amable de ayudarme en estos 3 ejercicios mil gracias por su atención feliz noche
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Respuestas
Explicación paso a paso:
antes de desarrollar los ejercicios tenes que saber ciertas propiedades
log x = a ⇔ x = 10^a donde a,x ∈ R con x>0 (definición)
log(a.b) = loga + logb
log(a/b) = loga - logb
log(a^b) = b.loga
log 1 = 0 ⇔ 1 = 10^0 = 1
log 10 = 1 ⇔ 10 = 10^1 = 10
en base a estas propiedades se comienza a resolver
1) 2logx - log4x = -2
como 2logx = log(x^2) se tiene lo siguiente
log(x^2) - log4x = -2
la diferencia de logaritmos se puede expresar como logaritmo del cociente de sus argumentos, por lo tanto
log(x^2) - log4x = log(x^2/4x) = -2
log(x/4) = -2 por definición de logaritmo se determina el valor de x
log(x/4) = -2 ⇔ x/4 = 10^(-2) ⇒ x = 4/100 ⇒ x = 1/25
2) log(x - 2) + 1 = log(x - 1) + log2
se hace lo siguiente, en un miembro se pone todo lo que contiene a x y en el otro todo lo que sea una constante, es decir
log(x - 2) - log(x - 1) = log2 - 1
aplicando las propiedades se tiene
log((x - 2)/(x - 1)) = log2 - log10 = log(2/10) = log(1/5) = log1 - log5 = -log5
se obtiene
log((x - 2)/(x - 1)) = -log5
se iguala a cero
log((x - 2)/(x - 1)) + log5 = 0
por propiedad de producto
log((x - 2)/(x - 1)) + log5 = log(5.((x - 2)/(x - 1))) = 0
por definición
log(5.((x - 2)/(x - 1))) = 0 ⇔ 5.((x - 2)/(x - 1)) = 10^0 = 1
se resuelve la expresión
5.((x - 2)/(x - 1)) = 1
5.(x - 2) =x - 1 ⇒ 5x - 10 = x - 1 ⇒ 5x - x = 10 - 1 ⇒ 4x = 9 ⇒ x = 9/4
3) 3 logx - log 32 = log x - log 2
se procede como en el ejercicio anterior
3 log x - log x = log 32 - log 2 como 32 = 2^5 se reduce a lo siguiente
2 log x = log (2^5) - log 2 = 5 log 2 - log 2 = 4 log 2
como 2 log x = 4 log 2 ⇒ log x = 2 log 2 = log 4
se igual a cero
log x - log 4 = 0 ⇒ log (x/4) = 0 por definición
log (x/4) = 0 ⇔ x/4 = 10^0 = 1 ⇒ x = 4