Question

dadas las rectas r : ax + (a-1) y-2(a+2)=0 y s : 3ax-(3a+1) y -(5a+4) =0 calcula a) el valor de a para que las rectas sean paralelas b) el valor de a para que sean perpendiculares .Halla en esta caso el punto de corte

Answer 1

Es importante recordar que dos rectas son paralelas si tiene el mismo coeficiente angular o pendiente y que son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas, o lo que es lo mismo, su producto es -1.

Para poder deducir el coeficiente angular, transformaremos las ecuaciones a su forma explícita, es decir, con la y "despejada":

$r:~~y=\frac{-a}{a-1} x+2(a+2)~~con~a\neq 1\\s:~~y=\frac{3a}{3a+1} x-(5a+4)~~con~a\neq\frac{-1}{3}$

Por tanto las pendientes de las rectas r y b son $m_{r}= \frac{-a}{a-1} ~~~m_{s}=\frac{3a}{3a+1}$

a) Si las rectas son paralelas, son pendientes son iguales, por tanto

$\frac{-a}{a-1} =\frac{3a}{3a+1}$ ⇒

$\frac{-a}{a-1} =\frac{3a}{3a+1}$ ⇒

(3a+1)(-a)=3a(a-1)⇒

$6a^{2} -2a=0$⇒

Entonces a=0 o $a=\frac{1}{3}$

b) Si las rectas son perpendiculares, sus coeficientes angulares son inversos y opuestos, por tanto:

$\frac{a-1}{a} =\frac{3a}{3a+1}$⇒

-2a-1=0⇒

$a=\frac{-1}{2}$

Para este valor hallado $r: -\frac{1}{2} x-\frac{3}{2}y -3=0\\s:-\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}y - \frac{3}{2}=0$

Si resolvemos el sistema de ecuaciones encontramos las coordenadas del punto de intersección $P=(-\frac{3}{2} , -\frac{3}{2})$

Espero te sea de utilidad, saludos.