Question

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 Dx Ey F = 0; donde A ≠ 0 a) Es una parábola si E ≠ 0 b) Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0

Answer 1

Respuesta:

Ax^2  + Dx + Ey + F = 0

Explicación:

Es una parábola si E ≠ 0

Ax^2  + Dx + Ey + F = 0

(Ax^2  + Dx+F)+ Ey  = 0

(x^2  +D/A x+F/A)+ Ey  = 0

(x^2  +D/A x+    )=- Ey   -F/A

(x^2  +D/A x+(D/2A)^2 )    = -Ey-F/A+(D/2A)^2

(x+D/2A)^2    = -Ey-F/A+(D/2A)^2

(x+D/2A)^2    = -Ey-F/A+D^2/(4A^2 )

(x+D/2A)^2    = -Ey+D^2/(4A^2 )-F/A

(x+D/2A)^2    = -E( y-((D^2/(4A^2 )-F/A))/E)

De la ecuación de una parábola tenemos

(x-h)^2    = 4p( y-k)

Donde  

h=-  D/2A    ;   4p=-E   ;  k=((D^2/(4A^2 )-F/A))/E   con E ≠0  

Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0

Ax^2  + Dx + Ey + F = 0

Tenemos que E=0 luego

Ax^2  + Dx  + F = 0

4Ax^2  +4A Dx  +4A F = 0

4Ax^2  +4A Dx  +4A F+D^2= D^2

4Ax^2  +4A Dx  +D^2= D^2-4A F

(2Ax+D)^2= D^2-4A F

√((2Ax+D)^2 )= √(D^2-4A F)

2Ax+D= ±√(D^2-4A F)

2Ax= -D±√(D^2-4A F)

x=  (-D±√(D^2-4A F))/2A

Donde D2 – 4AF = 0 luego

x=  (-D)/2A

Donde se tiene  

x=  k   ;k=(-D)/2A

Que hace referencia a una recta perpendicular al eje x o también llamada recta vertical.