Cuantos numeros de 3 cifras al dividirlo entre la suma de sus cifras da 29 de cociente y 3 de residuo

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Respuesta dada por: Alquerion
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Para poder resolver este problema, vamos a asignar las letras X, Y y Z a las cifras de los números que queremos hallar.

Si al dividir dichos números entre la suma de sus cifras obtenemos como cociente 29 y como residuo 3:

100x + 10y + z = [(x+y+z)* 29]+ 3

100x + 10y + z = 29x + 29y + 29z + 3

71x = 19y + 28z + 3

Como tenemos una única ecuación y tres variables, tendremos que fijar el valor de dos de ellas y analizar la tercera, teniendo en cuenta que X nunca podrá ser 0 para poder obtener un número de 3 cifras.

A continuación, procederemos a comprobar el número de soluciones encontradas fijando el valor de X y dando valores enteros de 0 a 9; si Z da un número entero al sustituir cualquiera de esos valores, tendremos una solución:  

X = 1  

71 = 19y + 28z + 3

68 = 19y + 28z

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 2

142 = 19y + 28z + 3

139 = 19y + 28z

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 3

213 = 19y + 28z + 3

210 = 19y + 28z

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 4

284 = 19y + 28z + 3

281 = 19y + 28z

Hay una solución: y = 3   z =8

X = 5

355 = 19y + 28z + 3

352 = 19y + 28z

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 6

426 = 19y + 28z + 3

423 = 19y + 28z

Hay una solución: y = 9   z =9

X = 7

497 = 19y + 28z + 3

494 = 19y + 28z

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 8

568 = 19y + 28z + 3

565 = 19y + 28y

No hay solución con números enteros para este sistema.

X = 9

639 = 19y + 28z + 3

636 = 19y + 28y

No hay solución con números enteros para este sistema.

Solución:

Sólo hay 2 números: 438 y 699

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