Question

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0; donde A ≠ 0

a) Es una parábola si E ≠ 0
b) Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0

Answer 1

Las demostraciones sobre Ax² + Dx + Ey + F = 0 , donde A ≠ 0 nos generan lo expresado.

Tenemos que la siguiente forma, tal que:

• Ax² + Dx + Ey + F = 0 , donde A ≠ 0.

1- Si E ≠0, entonces tenemos que:

Ax² + Dx + Ey + F = 0

Despejamos el valor de 'y', tal que:

Ey = -Ax² - Dx + F

y = (-A/E)·x² - (D/E)·x + F/E ⇒ Expresión de una parábola

Para gráficar supongamos que A,E,D,F son la unidad (1), entonces:

y = -x² - x + 1

Observemos que la gráfica que se forma es una parábola, adjunto.

Observemos que E queda en el denominador, pero como E ≠0, tenemos una función cuadrática, lo que representa una parábola.

2- Es una linea vertical si E = 0 y D² - 4AF = 0.

Primera condición, que E = 0, entonces:

Ax² + Dx + E·(0) + F = 0

Ax² + Dx + F = 0  

Ahora, buscamos el discriminante de la función:

Δ = b² - 4·a·c

Δ = D² - 4·A·F

La condición indica que esta expresión es nula, entonces:

Δ = 0

Si el discriminaste es cero, entonces, la resolvente nos queda de la siguiente forma:

x₁.₂ = [-b ± √(Δ)]/2a

x = -b/2a

x = -D/2A ⇒ linea vertical

Para gráficar supongamos que D y A son la unidad (1).

x = -1/2

Observemos que la gráfica es una lineal vertical, adjunto.

Siendo D y A dos constantes, tenemos que es una lineal vertical si E = 0 y D² - 4AF = 0.

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