A Se bombea agua a una razón constante de 2 litros por minuto (1 litro = 1000 centímetros cúbicos) a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros, respectivamente. ¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros? Nota: el volumen V, de un cono circular recto truncado de altura h y radios inferior y superior a y b es V=1/3 πh*(a^2+ab+b^2).
B Un granjero debe hacer dos cubiertas para huevos de codorniz. Para este fin dispone de un alambre de 210cm el cual debe cortar en dos partes para formar una cubierta en forma circular y otra en forma cuadrada. Demuestre como debe ser cortado el alambre para que:
a. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea máxima
b. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea mínima
Respuestas
Primer Problema:
La velocidad con que se eleva el nivel del agua es de 0,84 cm/s
Segundo Problema:
Perímetro para la circunferencia es: 210π/4+π
Perímetro del cuadrado: 840/4+π
Explicación:
Datos:
Tanque con forma de cono circular recto truncado:
h = 80 cm
d1= 20 cm
d2= 40 cm
Q = 2 lt/min
¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros?
A esa altura le corresponde un tronco de cono de agua con radio superior "a" y radio inferior b=20 cm
El volumen de agua viene dado por la siguiente expresión:
V = (1/3) π h (a²+ ab+b²=
V = (1/3) π h (a²+a.20+20²)
V = (1/3) π h (a²+20a+400)
Relación de semejanza:
h+80 = 4a
a=(1/4)(h+80)
a= 0,25 h +20
Si reemplazamos en la ecuación del volumen
V = (1/3) π h [ (0,25 h +20)² + 20(0,25 h +20) + 400]
V = (1/3) π h [ 0,0625 h² + 15h + 1200]
V = (1/3) π [ 0,0625 h³ + 15h² + 1200h ]
Obtenemos la ecuación que relaciona el volumen de agua en el tanque con la profundidad de agua
V = (1/3) π [ 0,0625 h³ + 15h² + 1200h ]
Derivamos:
V´ = (1/3) π [ 0,0625 (3h²) + 15(2h) + 1200 ]
V´= (1/3) π [ 0,1875 h² + 30 h + 1200 ]
Cuando la profundidad es de 30 cm:
h=30
Q= 2000 cm³/seg :
Sustituyendo términos:
2000 = (1/3) π [ 0,1875(30)² + 30(30) + 1200] V´
2000 = (1/3) π [ 2268,75]V´
V´ = 2000 * 3 / π [ 2268,75]
V´= 0,84 cm/seg
La velocidad con que se eleva el nivel del agua es de 0,84 cm/s
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Segundo Problema:
Explicación paso a paso:
Un alambres suponemos dos partes:
|__________________|_____________________|
x 210-x
Para formar una cubierta en forma circular y otra en forma cuadrada:
x: es la longitud de la circunferencia
100-x: perímetro del cuadrado
r= x/2π l = 1/4(100-x)
Si A(x): es la función que representa a ambas áreas
A ( x) = 1-4πx²+1/16(210-x)² 0≤x≤210
Función continua que al derivar e igualar a cero se obtienen los puntos críticos:
A`(x) = 1/4π*2x +1/16 2(-1)(210-x)
0 = xπ /2 -(210-x)/8
x = 420π/(8+2π)
Con el criterio de la segunda derivada:
A = 210π/4+π
Perímetro para la circunferencia es: 210π/4+π
Perímetro del cuadrado: 840/4+π
a. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea máxima
Cuando x sea igual a cero
b. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea mínima
Cuando x sea igual a 210 cm
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