Question

solucion e ecuacion diferencial por transformaa de laplace
4 dy/dt+ y=te^(-t);y(0)=-1

Answer 1

La Solución por Transformada de Laplace es

$y=-\frac{4}{9}e^{-t}-\frac{1}{3}te^{-t}-\frac{5}{9}e^{-\frac{1}{4}t}$

Primero que nada, debemos tener presente varias propiedades de la Transformada de Laplace aplicables al cálculo de la solución a Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden, estas son:

$L[y'+y]=L[y']+L[y]\\L[ay']=aL[y']\\L[y']=SL[y]+y_{0}$

Además, si contamos con una tabla de Transformadas de Laplace podemos utilizar esta herramienta para conocer las siguientes transformadas fundamentales:

$L[t^{n}e^{-at}]=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\\L^{-1}[\frac{1}{(s-a)}]=e^{at}\\L^{-1}[\frac{1}{(s-a)^{n}}]=\frac{t^{n-1}e^{at}}{(n-1)!}$

Ahora, resolvamos  esta Ecuación Diferencial.

Primero que nada, notemos que la variable dependiente es "y", la cual es la que esta siendo derivada en nuestra ecuación, mientras que "t" es nuestra variable independiente. Primero que nada llamaremos "y'" a la primera derivada de "y" respecto a "t", de esta forma escribimos nuestra ecuación como sigue

$4y'+y=te^{-t}:y(0)=-1$

Ahora aplicamos la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación, tomando en cuenta la propiedad de la suma de la Transformada y la transformada de la variable por una constante, así:

$4L[y']+L[y]=L[te^{-t}]$

En este punto podemos aplicar la transformada de la primera derivada y, aplicar la tabla de la Transformada de Laplace para nuestro término independiente, al hacer esto obtenemos

$4(sL[y]-y_{0} )+L[y]=\frac{1}{(s+1)^{2}},donde L[y]=Y\\4(sY-y_{0})+Y=\frac{1}{(s+1)^{2}}$

Tomamos $y_{0}=y(0)=-1$

Por lo tanto

$4sY+4+Y=\frac{1}{(s+1)^{2} }$

Ahora despejaremos Y en esta ecuación y aplicaremos la Transformada Inversa de Laplace para obtener la solución a la Ecuación Diferencial

$Y(4s+1)=\frac{1}{(s+1)^{2}}-4\\Y=\frac{1}{(s+1)^{2}(4s+1)}-\frac{4}{(4s+1)}\\Y=\frac{1}{4(s+1)^{2}(s+\frac{1}{4})}-\frac{1}{(s+\frac{1}{4})}$

Analizando la expresión resultante, solo nos queda un paso para poder aplicar la Transformada Inversa de Laplace, el término 1/(s+1/4) ya está escrito de la forma que deseamos, solo debemos reescribir el primer término de una forma más conveniente para poder aplicar la transformada inversa, y esto lo hacemos descomponiendo este en fracciones simples como sigue

$\frac{1}{4(s+1)^{2}(s+\frac{1}{4})}=\frac{A}{(s+1)}+\frac{B}{(s+1)^{2}}+\frac{C}{(s+\frac{1}{4})}\\1=4A(s+1)(s+\frac{1}{4})+4B(s+\frac{1}{4})+4C(s+1)^{2}$

Es importante  recordar que, para realizar la descomposición en fracciones simples, debemos agregar tantas constantes como factores de potencia existan en el denominador de la expresión que deseamos descomponer, de esta forma, como hay tres factores de potencia en el denominador, debemos agregar tres constantes, estas son A, B y C, cada una dividida por uno de los factores de potencia existente.

Ahora, con la ecuación en términos de A, B y C hallada, encontraremos los valores de las constantes dándole valores convenientes a "s", de forma de poder despejar cada una de ellas, así:

Para s=-1:

$1=4B(-\frac{3}{4})\\B=-\frac{1}{3}$

Para s=-1/4:

$1=4C(-\frac{1}{4}+1)^{2}\\1=4C(\frac{3}{4})^{2}\\C=\frac{4}{9}$

Para s=0:

$1=A+B+4C\\1=A-\frac{1}{3}+\frac{16}{9}\\A=-\frac{12}{27}\\A=-\frac{4}{9}$

Por lo que podemos escribir "Y" como sigue

$Y=-\frac{4}{9}\frac{1}{(s+1)}-\frac{1}{3}\frac{1}{(s+1)^{2}}+\frac{4}{9}\frac{1}{(s+\frac{1}{4})}-\frac{1}{(s+\frac{1}{4})}\\Y=-\frac{4}{9}\frac{1}{(s+1)}-\frac{1}{3}\frac{1}{(s+1)^{2}}-\frac{5}{9}\frac{1}{(s+\frac{1}{4})}$

Por último, aplicamos la Propiedad de la suma de la Transformada Inversa de Laplace de "Y" y, con la tabla de la transformada inversa hallamos la solución "y" a nuestra ecuación diferencial, por lo tanto:

$L^{-1}[Y]=-\frac{4}{9}L^{-1}[\frac{1}{(s+1)}]-\frac{1}{3}L^{-1}[\frac{1}{(s+1)^{2}}]-\frac{5}{9}L^{-1}[\frac{1}{(s+\frac{1}{4})}]\\y=-\frac{4}{9}e^{-t}-\frac{1}{3}te^{-t}-\frac{5}{9}e^{-\frac{1}{4}t}$

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