Question

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

L{1sen kt}

Answer 1

La transformada de Laplace de 1 sen(kt) = sen(kt)  es: $\frac{k}{s^{2}+k^{2}}$

La transformada de Laplace es un operador lineal utilizados usualmente para resolver ecuaciones diferenciales no homogénea.

Sea f(t) una función de t, entonces la transformada de laplace la denotaremos como L|f|(s), y la ecuación que ella describe sera:

$L|f|(s) =\int\limits^{\infty}_{0} {f(t)*e^{-st} } \, dt$

Ahora en este caso f(t) = 1 sen(kt) = sen(kt)

$L|f|(s) =\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt$

Haciendo integración por parte:

 

u= sen(kt) ⇒ du= kcos(kt)dt

dv =$e^{-st}dv$ ⇒ v = $-e^{-st}/s$  

$-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)+\frac{k}{s} \int\limits^{\infty}_{0} {cos(kt)*e^{-st} } \, dt$

Volvemos a integrar por parte:

u= cos(kt) ⇒ du= -ksen(kt)

dv =$e^{-st}$ ⇒ v = $-e^{-st}/s$  

$=-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)+\frac{k}{s}*(-\frac{e^{-st}}{s}cos(kt)-\frac{k}{s} \int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt)$  

$=-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)-\frac{k^{2}}{s^{2}} \int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt$

Tenemos que:

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)-\frac{k^{2}}{s^{2}} \int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt$

Despejando:

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt+\frac{k^{2}}{s^{2}} \int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt*(1+\frac{k^{2}}{s^{2}}) =-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt*(\frac{s^{2}+k^{2}}{s^{2}}) =-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=\frac{-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)-\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)}{\frac{s^{2}+k^{2}}{s^{2}}}$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=\frac{-\frac{e^{-st}}{s} sen(kt)}{\frac{s^{2}+k^{2}}{s^{2}}} -\frac{\frac{ke^{-st}}{s^{2} }cos(kt)}{\frac{s^{2}+k^{2}}{s^{2}}}$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=\frac{s^{2}*(-e^{-st} sen(kt))}{s*(s^{2}+k^{2})}-\frac{s^{2}*(ke^{-st} cos(kt))}{s^{2}*(s^{2}+k^{2})}$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=\frac{s*(-e^{-st} sen(kt))}{s^{2}+k^{2}}-\frac{ke^{-st} cos(kt)}{s^{2}+k^{2}}$

$\int\limits^{\infty}_{0} {sen(kt)*e^{-st} } \, dt=\frac{1}{s^{2}+k^{2}}(-s*e^{-st} sen(kt)-ke^{-st} cos(kt))$

Recordemos que hay que evaluar de 0 a infinito

$=\frac{1}{s^{2}+k^{2}}((-s*e^{-s*\infty} sen(k*\infty)-ke^{-s*\infty} cos(k*\infty))-\\(-s*e^{-s*0} sen(k*0)-ke^{-s*0} cos(k*0)))$

$=\frac{1}{s^{2}+k^{2}}((-s*0* sen(k*\infty)-0*cos(k*\infty))-\\(-s*e^{-s*0}*0-k*cos(k*0)))$

$\frac{1}{s^{2}+k^{2}}(0-(-k*1)) = \frac{1}{s^{2}+k^{2}}(k) = \frac{k}{s^{2}+k^{2}}$