Ana escribe conjuntos de cinco enteros positivos consecutivos con la siguiente propiedad: La suma de tres de los números es tan grande como la suma de los otros dos. ¿Cuántos conjuntos con esta propiedad ha escrito Ana?
Respuestas
Entonces hay dos conjuntos, a= 2 y a=4. El conjunto de los 5 números seria: 2, 3, 4, 5, 6 y 4, 5, 6, 7, 8
Sean 5 entero positivos consecutivos, entonces si "a" es el primero, se cumple que los números son:
a, a+1, a+2, a+3, a+4.
Sean k1, k2, k3, k4, k5, que pueden ser 0, 1, 2, 3, 4 el termino que se le suma a "a" de acuerdo al número que tomemos.
Si 5 números forman parte de los conjuntos de Ana se cumple que existen dos números, digamos sin perdida de la generalidad a+k1 y a+k2, tal que:
a+k1+a+k2= a+k3+a+k4+a+k5
2a+(k1+k2) = 3a+(k3+k4+k5)
a= (k1+k2)-(k3+k4+k5)
Ahora como queremos que los números sean positivos, a debe ser positivo. Entonces veamos cuantos conjuntos se pueden formar tal que a sea positivo.
Sabemos que k1+k2+k3+k4+k5= 10
Dando valores a k1 y k2, obtenemos el resultado de k3+k4+k5, recordemos que k1+k2=k2+k1, entonces no importa el orden, no tomaremos dos pares de números iguales.
- Si k1=0, k2= 1, k3+k4+k5= 9 a seria negativo.
- Si k1=0, k2= 2, k3+k4+k5= 8 a seria negativo.
- Si k1=0, k2= 3, k3+k4+k5= 7 a seria negativo.
- Si k1=0, k2= 4, k3+k4+k5= 6 a seria negativo.
- Si k1=1, k2= 2, k3+k4+k5= 7 a seria negativo.
- Si k1=1, k2= 3, k3+k4+k5= 6 a seria negativo.
- Si k1=1, k2= 4, k3+k4+k5= 5 a = 0, pero quiero que los 5 enteros sean positivos, si a = 0, no se cumple pues el primer entero seria 0 y 0 noes positivo.
- Si k1= 2, k2= 3, k3+k4+k5= 5 a = 0, pero quiero que los 5 enteros sean positivos, si a = 0, no se cumple pues el primer entero seria 0 y 0 noes positivo.
- Si k1= 2, k2= 4, k3+k4+k5= 4, a = 2. Si cumple.
- Si k1= 3, k2= 4, k3+k4+k5= 3 a= 4. Si cumple.
Entonces hay dos conjuntos, a= 2 y a=4. El conjunto de los 5 números seria: 2, 3, 4, 5, 6 y 4, 5, 6, 7, 8