. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0; donde A ≠ 0 a) Es una parábola si E ≠ 0 b) Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0
Respuestas
Las demostraciones sobre Ax² + Dx + Ey + F = 0 , donde A ≠ 0 nos generan lo expresado.
Tenemos que la siguiente forma, tal que:
- Ax² + Dx + Ey + F = 0 , donde A ≠ 0.
1- Si E ≠0, entonces tenemos que:
Ax² + Dx + Ey + F = 0
Despejamos el valor de 'y', tal que:
Ey = -Ax² - Dx + F
y = (-A/E)·x² - (D/E)·x + F/E ⇒ Expresión de una parábola
Para gráficar supongamos que A,E,D,F son la unidad (1), entonces:
y = -x² - x + 1
Observemos que la gráfica que se forma es una parábola, adjunto.
Observemos que E queda en el denominador, pero como E ≠0, tenemos una función cuadrática, lo que representa una parábola.
2- Es una linea vertical si E = 0 y D² - 4AF = 0.
Primera condición, que E = 0, entonces:
Ax² + Dx + E·(0) + F = 0
Ax² + Dx + F = 0
Ahora, buscamos el discriminante de la función:
Δ = b² - 4·a·c
Δ = D² - 4·A·F
La condición indica que esta expresión es nula, entonces:
Δ = 0
Si el discriminaste es cero, entonces, la resolvente nos queda de la siguiente forma:
x₁.₂ = [-b ± √(Δ)]/2a
x = -b/2a
x = -D/2A ⇒ linea vertical
Para gráficar supongamos que D y A son la unidad (1).
x = -1/2
Observemos que la gráfica es una lineal vertical, adjunto.
Siendo D y A dos constantes, tenemos que es una lineal vertical si E = 0 y D² - 4AF = 0.
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