Un ingeniero tiene un alambre de 100 centímetros de largo, este se corta en dos pedazos; uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para formar un triángulo equilátero.
¿En dónde debe hacerse el corte si la suma de las dos áreas debe ser máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar).
Respuestas
El corte del alambre se debe hacer a los 91,68 metros para que las áreas sean las máximas
Explicación paso a paso:
Supongamos que el alambre se parte a una distancia x en uno de sus extremos
x: es el perímetro del cuadrado
100-x: perímetro del triangulo equilatero
L: lado cuadrado
l: lado del triangulo
L= (100-x)/4
l =x/3
Área del triangulo equilatero:
A = b*h/2
h² =(x/3)² -(x/6)²
h² = x²/9 -x²/26
h² =4x²-x²/36
h =√3x²/36
h = √3x/6
A =( x/6*√3x/6) /2
A = x²√3/72
Área del cuadrado:
A = ( (100-x)/4 )²
A = 1000+200x -x² /16
Si A(x): es la función que representa a ambas áreas
A ( x) = x²√3/72 + 1000+200x -x² /16 0≤x≤100
Función continua que al derivar e igualar a cero se obtienen los puntos críticos:
A`(x) =x/4,3∧3/2 +20-2x/16
0 = x/39,76 +20-2x/16
x/39,75 = 20-2x/16
16x= 795,20-79,50x
16x+79,5x = 795,20
x = 8,32 m
L = 100-8,32/4=22,92
l = 8,32/3 = 2,77
Perímetro del Cuadrado:
P = 4*22,92 = 91,68 m
Perímetro del triangulo:
P = 2,77*3 = 8,32 m
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