Question

Entre una multitud de 100 personas se reparten 100 panes, cada hombre recibe 3 panes, cada mujer recibe 2 panes y cada niño recibe 1/2 pan, ¿Cuantos hombres, mujeres y niños hay entre la multidud?

(Para la resolucion de este problema es necesario hallar un sistema de ecuaciones que se adapte al problema, para luego resolverlo mediante el uso de matrices)

(La imagen mostrada es un ejemplo de otro ejercicio)​

Answer 1

El sistema tiene infinitas soluciones dadas por:

a= -100 +1.5c

b= 200-2.5c

c= c

Donde: 67≤ c ≤ 80.

y C debe ser par.

Lo que se desea saber es cuantos hombres hay en total cuantas mujeres y cuantos niños.

Llamemos "a" la cantidad de mujeres, "b" a la cantidad de hombres y "c" a la cantidad de niños.

En total hay 100 personas:

a+b+c = 100

El total de panes son 100, y a cada hombre le tocan 3 a cada mujer 2 y a cada niño medio pan:

3a+2b+0.5c = 100

Tenemos dos ecuaciones y tres variables el sistema es:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\3&2&0.5\\0&0&0\end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}100\\100\\0\end{array}\right]$

f2 = -3f1+f2

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&-1&-2.5\\0&0&0\end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}100\\-200\\0\end{array}\right]$

f2 = -f2

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&2.5\\0&0&0\end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc}a\\b\\c\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}100\\200\\0\end{array}\right]$

Llevamos la matriz a su forma escalonada reducida obteniendo que:

1. a+b+c = 100

b +2.5c = 200 ⇒ b= 200-2.5c

Sustituyendo en 1:

a+200-2.5c+c = 100

a-1.5c= -100

2. a= -100 +1.5c

3. b= 200-2.5c

4. c= c

El sistema tiene infinitas soluciones, ahora usaremos el hecho de que a,b,c son enteros, pues son cantidad de personas y además son positivos. Por lo tanto:

Por la ecuación 2, para que a sea positivo c debe ser mayor a 66,66667 como c es entero entonces c debe ser mayor o igual 67, además debe ser par para que el resultado sea entero, entonces tiene que ser mayor o igual a 68.

Por la ecuaciòn 3, para que b sea positivo, entonces c debe ser menor 80. Por lo tanto

La cantidad de niños "c" :

67≤ c ≤ 80.

Las soluciones pueden ser para cantidad de niños: 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80. Encontremos dos soluciones:

Digamos que hay 70 niños, entonces por 2 y 3 hay: 5 hombres, 25 mujeres.

Si hay 72 niños, entonces por 2 y 3 hay: 8 hombres y 20 mujeres.