Question

Encontrar los valores de m y n que garanticen que la matriz U sea una combinación lineal de las matrices A y B. Justificar la respuesta.

Answer 1

Los valores de m y n son 15 y 35 respectivamente.

Dado que U es la combinación lineal de A y B

$u=mA+nB$ se cumple para cada elemento de las matrices, es decir:

$U=\left[\begin{array}{ccc}4m+4n&6m+23n&7m+11n\\10m+7n&2m+15n&8m+6n\\3m+9n&7m+12n&9m+8n\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}200&895&490\\395&555&330\\360&525&415\end{array}\right]$

Tomamos dos elementos y formamos las siguientes ecuaciones:

$\left \{ {{4m+4n=200} \atop {10m+7n=395}} \right.$

Multiplicamos por 5 a la primera y por -2 a la segunda

$\left \{ {{20m+20n=1000} \atop {-20m-14n=-790}} \right.$

Sumamos los términos de las matrices uno a uno

$6n = 210\\ n=35$

Reemplazamos n en la primera ecuación

$4m + 4n = 200\\\\4m + 4(35) = 200\\\\m+35=50\\\\m=15$

Podemos verificar que los valores de m y n encontrados cumplen para los demás elementos de las matrices:

$3m+9n=360\\\\3(15)+9(35) = 360\\\\45+315=360\\\\360=360$