Question

Efectué la solución de Euler para aproximar la solución
del problema de valor inicial Y’= y con y(0)=1, luego
encuentre la solución para y(1.0) cuando h= 0.05,
grafique el y aproximado y el y exacto

Answer 1

El método de Euler es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, donde tenemos la ecuación diferencial y el valor de la función en un punto, conocido como valor inicial

¿En que consiste?

Si tenemos: $\frac{dy}{dx} = F(x,y) ; y(xo) = yo$

Se define: $h=\frac{Xn-Xo}{n}$ Para algun n

Donde

$yn = f(Xn)$

Se tiene que:

$y_{n+1} = y_{n} +h*F(x_{n} ,y_{n})$

Algoritmo del método de Euler: para resolver el método de Euler se implementa el siguiente algoritmo:

1. Definir Xo, Yo, F(x,y) , h, xf

Repetir

2. Hacer $y_{n+1} = y_{n} +h*F(x_{n} ,y_{n})$

3. Hacer $x_{n+1} = x_{n} +h$

Hasta un Xf = Xfinal

Procedemos al calculo de y(1.0) usando el método de Euler, usaremos C por ser un lenguaje universal. La función de derivada solo depende de Y

En la primera imagen podemos ver el algoritmo de Euler en la segunda imagen vemos el valor de la función en X = 1, obtenemos que:

Si X= 1, entonces Y= 2.653229771

Para encontrar el valor exacto resolvemos la ecuación diferencial:

$\frac{dy}{dx} = y$

⇒ $\frac{dy}{y} = dx$

⇒ $\int\frac{dy}{y} = \int dx$

⇒ $ln|y|+C = x$

⇒ $e^(ln|y|+C) = e^x$

⇒ $e^ln|y|*e^C = e^x$

⇒ $y*e^C = e^x$

⇒ $y =\frac{e^x}{e^C}$

⇒ $y =\frac{e^x}{C'}$

Cuando x = 0 entonces y =1 Por lo tanto:

⇒ $1 =\frac{e^0}{C'}$

⇒ $1 =\frac{1}{C'}$

⇒ $1 =C'$

⇒ $y =e^x$

El valor exacto es  $y(1) =e^1 = e = 2.7182$

Graficamos en la tercera imagen los dos puntos obtenidos el aproximado y el exacto, vemos que la solución se obtiene una aproximación buena. Si se desea obtener una mejor aproximación se puede usar el método de Euler mejorado.