Question

La función que define el espacio recorrido por una partícula es igual a la integral de la función velocidad y la velocidad es igual a la integral de la función aceleración. Una partícula que se mueve a lo largo de una recta y donde su aceleración es a(t)=π^2 Cos(πt) m^2/Seg . Si en el instante inicial (t=0), la posición de la partícula es (s=0) y la velocidad es v=6 m/Seg. Hallar S cuando t=1 Hallar S cuando t=3.2

Answer 1

La posición de la partícula que se mueve a lo largo de una recta es de 6 metros para t = 1 segundo, y 19.21 metros para t = 32 segundos.

Explicación paso a paso:

Para resolver este ejercicio debemos saber que la velocidad es una integral de la aceleración, y la posición es la integral de la velocidad, entonces:

• a(t) = π²·Cos(πt)

Ahora, integramos para obtener la velocidad, tal que:

v(t) = ∫a(t) dt

v(t) = ∫π²·Cos(πt) dt

v(t) = π²·Sen(πt)/π + C

v(t) = π·Sen(πt) + C

Ahora sabemos que para t = 0 entonces la velocidad es igual a 6 m/s, entonces buscamos la constate de integración:

6 m/s = π·Sen(π·0) + C

C = 6 m/s

Entonces, la ecuación de velocidad será:

• v(t) = π·Sen(πt) + 6 m/s

Ahora, integramos la velocidad para obtener la posición, tal que:

s(t) = ∫v(t) dt

s(t) = ∫(π·Sen(πt) + 6) dt

s(t) = -π·Cos(πt)/π + 6t + C

s(t) = -Cos(πt) + 6t + C

Ahora, sabemos que para cuando s = 0 entonces t = 0, entonces:

0 = -Cos(π·0) + 6(0) + C

0 = -1 + C

C = 1

Por tanto, la ecuación de posición es:

• s(t) = -Cos(πt) + 6t + 1

Ahora, buscamos la posición para t = 1 y t = 3.2 segundos.

s(1) = -cos(π·1) + 6·(1) + 1 = 6 m

s(3.2) = -cos(π·3.2) + 6·(3.2) + 1 = 19.21 m