Question

MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES

Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia

y'=2xy

Answer 1

La solución de la serie de potencia y'= 2xy es $y =Ce^{x^{2}}$

Resolver una ecuación diferencial como una serie de potencia, es escribir la misma de la forma:

1. $y = \sum C_{n} x^{n};n=0,1,2,...$

Si derivamos la ecuación:

2. $y' = \sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,...$

Tenemos que

$y'= 2xy$

Sustituyendo 1 y 2 en 3:

$\sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,...$ =  $2x\sum C_{n} x^{n};n=0,1,2,...$

$\sum n*C_{n} x^{n-1};n=0,1,2,...$ =  $2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...$

$0*C_{0}x^{0-1}+1*C_{1}x^{1-1}+ \sum n*C_{n} x^{n-1;n=2,3,4,...$ =  $2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...$

$C_{1}+ \sum n*C_{n} x^{n-1};n=2,3,4,...$ =  $2\sum C_{n} x^{n+1};n=0,1,2,...$

Usando la ecuación:

$\sum f(n);  n= k,k+1,k+2,... =\sum f(n+k) ;n =0,1,2,...$

$C_{1}+ \sum (n+2)*C_{n+2} x^{n+1} -2\sum C_{n} x^{n+1}=0;$ n=0,1,2,...

$C_{1}+ \sum ((n+2)*C_{n+2}-2C_{n}) x^{n+1}=0;$ n=0,1,2,...

Igualamos los coeficientes a 0

$C_{1}=0$

$(n+2)*C_{n+2}-2C_{n}=0;$

$C_{n+2} = \frac{2C_{n}}{n+2}$

Comenzamos a encontrar los coeficientes:

$C_{2} = \frac{2C_{0}}{2}$

$C_{3} = \frac{2C_{1}}{3} = 0$

$C_{4} = \frac{2C_{2}}{4}= \frac{C_{0}}{2}$

$C_{5} = \frac{2C_{3}}{5} = 0$

$C_{6} = \frac{2C_{4}}{6} = \frac{C_{0}}{6}$

$C_{8} = \frac{2C_{6}}{8} = \frac{C_{0}}{24}$

Si nos fijamos:

• Para n = 2k+1 (impar)

$C_{n} = 0$

• Para n = 2k

$C_{n} = C_{2k}=\frac{C_{0}}{k!}$

Por lo tanto la serie de potencia nos queda como:

$\sum \frac{C_{0}x^{2k}}{k!}; k = 0,1,2,...$

$\sum \frac{C_{0}x^{2}^k}{k!}; k = 0,1,2,...$

Ahora hay una ecuación que nos dice:

eⁿ = ∑ vⁿ/n!

En este caso v = x²

Tenemos que:

$y =C_{0} e^{x^{2}}$

Donde C₀ es una constante llamemosla C

$y =Ce^{x^{2}}$