Question

Escribe los pasos del método de integración por fracciones parciales, cuando se tiene un denominador cuadrático

Answer 1

Se factoriza x, de manera que x pueda quedar separado en fracciones parciales, luego se hace la sustitucion, se aplican las raices  y se encuentran los valores de las constantes que permitan desarrollar la integral.

Ejemplo:

1. $\int\limits^a_b {\frac{3}{x^{2}+3x } } \, dx$, el grado del denominador es mayor que el numerador.
2. Se factoriza x en el denominador, $x^{2} +3x=x(x+3)$
3. $\frac{3}{x^{2} +3} =\frac{A}{x} +\frac{B}{x+3}$
4. $\frac{3}{x^{2} +3x}=\frac{A(x-3)+bx}{x(x+3)}$
5. 3=A(x+3)+Bx, aqui aplicamos las raices del denominador, del punto 2 son cuando x=0 y x=-3.
6. Con x=0 en la ecuacion del punto 5, 3=A(3)+B(0), entonces A=1
7. Con x=-3, 3=A(-3+3)+B(-3), entonces B=-1
8. Con estas constantes aplicadas en la ecuacion del punto 3, nos queda $\int\limits^a_b {\frac{A}{x} +\frac{B}{x+3} } \, dx =\int\limits^a_b {\frac{1}{x} } \, dx-\int\limits^a_b {\frac{1}{x+3} } \, dx$
9. Desarrollamos la integral, obtenemos ln lxl - ln lx+3l+ C.