Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas f(x)=e^x, y, g(x)=1/(x^2+1). Representar en Geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo.
Respuestas
El volumen del sólido que se forma al girar f(x) = eˣ y g(x) = 1/(x²+1) diverge, es decir, el mismo tiende al infinito.
Explicación:
Inicialmente tenemos dos funciones:
- f(x) = eˣ
- g(x) = 1/(x²+1)
Buscamos el punto de corte entre las gráficas, tales que:
eˣ = 1/(x²+1)
(x²+1)·eˣ = 1
Esto se cumple cuando x = 0, por tanto y = 1.
Ahora, la integral irá desde y = 0 hasta y = 1, y esta girará en x =0 (eje y). Podemos verlo mejor en la gráfica.
Como girará alrededor del eje 'y' debemos dejar todas las funciones respecto a esta variable.
- y = eˣ ⇒ x = ln(y)
- y = 1/(x²+1) ⇒ x = √(1/y - 1)
OBSERVACIÓN: ninguna de las dos funciones existen en y =0.
Ahora, la integral por sólido revolución viene dada como:
- V = ∫π·r²(y) dy
Entonces, radios internos se suman, radios externos se restan, tenemos que:
- V = ∫₀₊¹ π·[√(1/y - 1)]² - ∫₀₊¹ π·(lny)² dy
OBSERVACIÓN: es importante resaltar que ambas integrales son impropias, ya que las funciones no existe en y =0, que es un limite de integración, por esta razón estudiamos desde 0⁺ (cero por la derecha) hasta el 1.
Ahora, resolvemos la primera integral, tal que:
I₁ = ∫₀₊¹ π·[√(1/y - 1)]²
I₁ = ∫₀₊¹ π·(1/y - 1) dy
I₁ = π·∫₀₊¹ (1/y - 1) dy
I₁ = π· [lny - y]₀₊¹
Aplicamos teoría de impropia, sustituimos el 0⁺ por una variable y sacamos el limite, tal que:
I₁ = lim(w→0⁺) [ln(1) - 1] - [lnw - w] = -∞
ANÁLISIS: la integral nos indica que diverge, con esto podemos concluir que el volumen del sólido que se forma tiende al infinito y no a un valor como tal.
