Respuestas
Estas son 4 preguntas.
Realiza la gráfica de la parábola con vértice en (0, 0) y que satisface las condiciones pedidas. Luego, encuentra la ecuación en la parábola (p.102)
214. Eje de simetría: eje x y foco (0, 1/2).
La ecuación canónica de la parábola con vértice (0,0) y foco (p,0) es:
y² = 4px
Es un error indicar que el foco es (0, 1/2). El foco de una parábola con eje de simetría x tiene que ser (p,0).
Debo suponer que el valor que se quería indicar es (1/2, 0).
Bajo ese supuesto p = 1/2, por lo que la ecuación canónica será:
y² = 4 (1/2)x =
y² = 2x ← respuesta.
La gráfica se encuentra en la primera imagen adjunta, donde se indican lo elementos foco, vértice, eje de simetria y directriz.
215. Directriz = -3/4
Recuerda que el vértice es (0,0)
Entonces la distancia focal es igual al valor absoluto de la distancia de la directriz al vértice: |p| = 3/4. Y el valor de p es positivo, puesto que está a la derecha del vértice (0,0), es decir del lado opuesto a la directriz.
La forma de la ecuación canónica es y² = 4px
⇒ La ecuación canónica buscada es y² = 4(3/4)x = 3x.
Respuesta: y² = 3x
El gráfico está en la segunda imagen adjunta mostrando los elementos vértice, foco, eje de simetría y directriz.
216. Lado recto mide 5 unidades y abre hacia la izquierda.
El lado recto tiene longitud igual a |4p|, por tanto |p| = 5/4.
El signo de p lo obtiens por su ubicacion. Puesto que la parábola abre hacia la izquierda y que el punto focal debe quedar interno, el signo es negativo, es decir p = - 5/4-
De allí, le ecuación de la parábola es y² = 4(-5/4)x
⇒ y² = -5x ← respuesta.
El dibujo de la gráfica está adjunto en la tercera imagen, mostrando el foco (-5/4,0), la directriz (x = 5/4), el vértice (0,0) y el eje de simetría (eje x).
217. Pasa por (—3, —6) y por (—12, 12)
Recuerda vértice es (0,0) y el eje de simetría es el eje x.
Reemplazando las coordenadas de cualquiera de los dos puntos en la ecuación canónica puedes obtener el valor de p.
Así:
y² = 4px
Punto (-3,-6) ⇒ (-6)² = 4p(-3)
⇒ p = 36 / (-12) = - 3
También:
Punto (-12,12) ⇒ (12)² = 4p(-12) ⇒ p = 144 / (-48) = - 3
Por tanto, la ecuación canónica será: y² = 4(-3)x = - 12x
y² = -12x ← respuesta
La gráfica se encuentra en la cuarta imagen adjunta.
Allí se muestran el vértice (0,0), el foco (-3,0), la directriz (x = 3, en color naranja) y el eje de simetría (eje x, en color rojo).
Te sugiero ve otros ejemplos de los elementos de la parábola en el enlace