Un granjero debe hacer dos cubiertas para huevos de codorniz. Para este fin dispone de un alambre de 210cm el cual debe cortar en dos partes para formar una cubierta en forma circular y otra en forma cuadrada. Demuestre como debe ser cortado el alambre para que:
a. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea máxima
b. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea mínima
Respuestas
Perímetro para la circunferencia es: 210π/4+π
Perímetro del cuadrado: 840/4+π
Explicación paso a paso:
Un alambres suponemos dos partes:
|__________________|_____________________|
x 210-x
Para formar una cubierta en forma circular y otra en forma cuadrada:
x: es la longitud de la circunferencia
100-x: perímetro del cuadrado
r= x/2π l = 1/4(100-x)
Si A(x): es la función que representa a ambas áreas
A ( x) = 1-4πx²+1/16(210-x)² 0≤x≤210
Función continua que al derivar e igualar a cero se obtienen los puntos críticos:
A`(x) = 1/4π*2x +1/16 2(-1)(210-x)
0 = xπ /2 -(210-x)/8
x = 420π/(8+2π)
Con el criterio de la segunda derivada:
A = 210π/4+π
Perímetro para la circunferencia es: 210π/4+π
Perímetro del cuadrado: 840/4+π
a. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea máxima
Cuando x sea igual a cero
b. La suma de las áreas de las dos cubiertas sea mínima
Cuando x sea igual a 210 cm
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