• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: paul1178oudurr
  • hace 8 años

(n-2)^(n-2) ^2 =2, hallar "n"

Respuestas

Respuesta dada por: mateorinaldi
1

Es una ecuación llamada trascendente. No existe una forma algebraica que la resuelva.

Se crea una función: f(n) = (n - 2)^(n - 2)^2 - 2

Utilizando un procesador simbólico se realiza el gráfico de la función, que se adjunta.

En él se aprecia (en el cero) que n ≅ 3,412.

Mateo

Adjuntos:
Respuesta dada por: luchosachi
2

Respuesta:

n=2+\sqrt{2}

o también 3.41421356

Explicación paso a paso:

Para facilitar las operaciones vamos a hacer una sustitución de (n-2) por "X",  y luego, al finalizar hacemos el correspondiente reemplazo.

En aplicación de lo dicho reescribimos el ejercicio y nos queda así:

X^{X^{2}}=2

Ahora elevemos ambos miembros de la igualdad, al cuadrado:

(X^{X^{2}})^{2} =2^{2}

Aplicamos propiedades de exponentes (teoría de exponentes) y transformamos el miembro izquierdo de la igualdad, así:

X^{X^{2}*2}=2^{2}

Lo reescribimos, porque el orden de factores no altera el producto:

X^{2*X^{2}}=2^{2}

Reescribimos nuevamente la expresión de la izquierda:

(x^{2})^{X^{2}}=2^{2}

Observamos los dos términos de la igualdad, sus respectivas bases y exponentes y encontramos que en ambas expresiones X^{2}=2

Por tanto, procedemos a despejar X:

X^{2}=2\\X=\sqrt{2}

Ahora podemos hacer el reemplazo o sustitución de X por n-2

n-2=\sqrt{2}\\n=\sqrt{2}+2\\n=2+\sqrt{2}

Raíz de 2 es 1.41421356, por tanto

n=2+1.41421356\\n=3.41421356

PRUEBA

Sustituimos n por su valor en la ecuación inicial y comprobamos si la igualdad es verdadera:

(2+\sqrt{2}-2)^{(2+\sqrt{2}-2)^{2}}=

De arriba hacia abajo: 2 - 2 es cero; el cuadrado elimina la raíz y queda sólo el 2 como exponente.

Esto se repite en la expresión de abajo y queda sólo el 2 = 2

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