Respuestas
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número o una suma). Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización para algunos casos especiales, que son:
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos.
Suma o diferencia de potencias impares iguales.
Trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c.
Factor común.
Triángulo de Pascal como guía para factorizar.
Caso I - Factor común
{\displaystyle a^{2}+ab=a(a+b)} {\displaystyle a^{2}+ab=a(a+b)}
{\displaystyle 9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}=3a(3a-4b+5a^{2}b^{2}-8b^{3})} {\displaystyle 9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}=3a(3a-4b+5a^{2}b^{2}-8b^{3})}
a · b + a · c = a · (b + c)
{\displaystyle ab+ac+ad=a(b+c+d)\,} {\displaystyle ab+ac+ad=a(b+c+d)\,}
{\displaystyle ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)\,} {\displaystyle ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)\,} si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.
Factor común por polinomio igual:
Lo primero que se debe hacer colocar la base o el polinomio:
{\displaystyle 5x^{2}(x-y)+3x(x-y)+7(x-y)\,} {\displaystyle 5x^{2}(x-y)+3x(x-y)+7(x-y)\,}
Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será símplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
{\displaystyle (5x^{2}+3x+7)\,} {\displaystyle (5x^{2}+3x+7)\,}
La respuesta es:
{\displaystyle (5x^{2}+3x+7)(x-y)\,} {\displaystyle (5x^{2}+3x+7)(x-y)\,}
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
{\displaystyle 5a^{2}(3a+b)+3a+b\,} {\displaystyle 5a^{2}(3a+b)+3a+b\,}
Se puede utilizar como:
{\displaystyle 5a^{2}(3a+b)+1(3a+b)\,} {\displaystyle 5a^{2}(3a+b)+1(3a+b)\,}
Entonces la respuesta es:
{\displaystyle (3a+b)(5a^{2}+1)\,} {\displaystyle (3a+b)(5a^{2}+1)\,}
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta dos características, términos repetidos como variables y números sin factor común, se identifica ya que tiene un número par de términos.
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto
Artículo principal: Trinomio cuadrado perfecto.
Si se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando el primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, o también podemos organizarlos ascendente o descendente (tanto el primero como el tercer termino deben ser positivos); luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}
Ejemplo 1:
{\displaystyle (5x-3y)^{2}=25x^{2}-30xy+9y^{2}\,} {\displaystyle (5x-3y)^{2}=25x^{2}-30xy+9y^{2}\,}
Ejemplo 2:
{\displaystyle (3x+2y)^{2}=9x^{2}+12xy+4y^{2}\,} {\displaystyle (3x+2y)^{2}=9x^{2}+12xy+4y^{2}\,}
Ejemplo 3:
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,} {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
Ejemplo 4:
{\displaystyle 4x^{2}+25y^{2}-20xy\,} {\displaystyle 4x^{2}+25y^{2}-20xy\,}
Organizando los términos tenemos:
{\displaystyle 4x^{2}-20xy+25y^{2}\,} {\displaystyle 4x^{2}-20xy+25y^{2}\,}
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
{\displaystyle (2x-5y)^{2}\,} {\displaystyle (2x-5y)^{2}\,}
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados perfectos
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado, unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b),(a+b), uno negativo y otro positivo).
{\displaystyle (ay-bx)(ay+bx)=(ay)^{2}-(bx)^{2}\,} {\displaystyle (ay-bx)(ay+bx)=(ay)^{2}-(bx)^{2}\,}
O en una forma más general para exponentes pares:
{\displaystyle (ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^{n}-(bx)^{m})((ay)^{n}+(bx)^{m})\,} {\displaystyle (ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^{n}-(bx)^{m})((ay)^{n}+(bx)^{m})\,}
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores