Question

Determinar el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos:(4;-1), (-2;-5) y (5,4)

Answer 1

El Centro de la circunferencia que pasa por los puntos:(4;-1), (-2;-5) y (5,4) es: C(-3,3)

Datos: 3 puntos (x,y) que pasan por la circunferencia:

(4;-1), (-2;-5) y (5,4)

La ecuación general de la circunferencia es:

$x^{2} +y^{2}+cx+dy+e= 0$

Reemplazamos cada uno de los valores de x e y, de acuerdo a los puntos dados:

• $4^{2} +(-1)^{2}+4c-d+e= 0$

⇒ $16 +1+4c+-d+e= 0$

⇒ $4c-d+e= -17$

• $(-2)^{2} +(-5)^{2}-2c-5d+e= 0$

⇒ $4+25-2c-5d+e= 0$

⇒ $-2c-5d+e= -29$

• $(5)^{2} +(4)^{2}+5c+4d+e= 0$

⇒ $25+16+5c+4d+e= 0$

⇒ $5c+4d+e= -41$

Por lo tanto mi sistema de ecuaciones es:

1. $4c-d+e= -17$

2. $-2c-5d+e= -29$

3. $5c+4d+e= -41$

Multiplicamos la segunda ecuación por 2.

4. $-4c-10d+2e= -58$

Sumamos la ecuación 4 con la ecuación 1

5. $-11d+3e= -75$

Multiplicamos la segunda ecuación por 2.5.

6.  $-5c-12.5d+2.5e= -72.5$

Sumamos la ecuación 6 con la ecuación 3:

7. $-8.5d+3.5e= -113.5$

Despejamos e de la ecuación 5

$3.5e= -113.5+8.5d$

5. $3e= -75+11d$

$3e= -75+11d$

8.$e= -25+11/3d$

Sustituimos en la ecuación 7:

$-8.5d+3.5*(-25+11/3d)= -113.5$

$-8.5d-87.5+72/6d= -113.5$

$-8.5d-87.5+72/6d= -113.5$

$13/3d= -113.5+87.5$

$13/3d= -26$

$13d= -26*3=-78$

$d=-78/13= -6$

Sustituimos en la ecuación 8:

$e= -25+11/3*-6$

$e= -25-22=-47$

Ahora sustituimos en la ecuación 1:

$4c+6-47= -17$

$4c-41= -17$

$4c= -17+41$

$4c=24$

$c=24/4= 6$

Por lo tanto d= -6, e= -47 y c= 6, la ecuación de la recta es:

$x^{2} +y^{2}+6x-6y-47= 0$

$x^{2} +6x+y^{2}-6y= 47$

Haciendo completación de cuadrados:

$x^{2}+6x+9+y^{2}-6y+9= 47+18$

$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}= 65$

Y en la ecuación de la circunferencia de centro (h,k) y radio r se cumple que

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}= r^{2}$

Por lo tanto el Centro es: C(-3,3)

Answer 2

El centro de la circunferencia es ( -48/7 ; 123/14) .

El centro de la circunferencia se calcula mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de las ecuaciones de las mediatrices de las cuerdas AB y BC , de la siguiente manera :

  A=( 4; -1 )   B= ( -2;-5 )  C =( 5;4)

   calcuo de la mediatriz de la cuerda AB :

     PmAB = ( ( 4-2)/2 ; ( -1-5)/2 ) = (1 ; -3)

     mAB = ( -5-(-1))/(-2-4) = -4/-6 = 2/3

     m= -1/mAB = -1/(2/3) = -3/2

      Ec de la mediatriz :

     y - y1 = m*(x- x1)

     y - (-3) = -3/2* ( x - 1)

     2y + 6 = -3x + 3

       3x + 2y + 3 =0

   calculo de la mediatriz de la cuerda BC :

      Pm BC= ( (-2+5)/2 , (-5+4)/2 )

      Pm BC= ( 3/2 , -1/2 )

      mBC = ( 4 -(-5))/( 5-(-5)) = 9/10

       m = -1/mBC = - 1/ (9/10) = -10/9

       

    Ec de la mediatriz :

       y - (-1/2)  = -10/9* ( x-3/2 )

       9y + 9/2 = -10x + 15

       10x + 9y -21/2  =0

     Ahora , se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

          3x + 2y  + 3  =0      *-10

         10x + 9y -21/2=0      *3

         -30x -20y -30 =0

          30x +27y - 63/2 =0      +  

        __________________

                       7y = 123/2

                        y = 123/14 .

            3x + 2*123/14 + 3 =0

            3x + 123/7 + 3=0

                 x= -48/7

     El centro de la circunferencia es:   C( -48/7 ; 123/14) .