Question

¿cuantos terminos hay que tomar en la P.A. 1;5;9;...;81, para que la suma sea 780?

Answer 1

Respuesta:

Hay que tomar 20 términos

Explicación paso a paso:

En la progresión aritmética cada termino excepto el 1ro se obtiene sumándole al termino anterior una cantidad constante llamada diferencia(d)

1: 5 : 9:..................: 81:......

a₁ = Primer termino = 1

an = Ultimo termino

n = Número de terminos

d = Diferencia = 5 - 1 = 4

Formulas.

an = a₁ + (n - 1) * d

an = 1 + (n - 1) * 4

an = 1 + 4n - 4

an = 4n - 3         Ecuación (1)

La suma = S = 780

S = (a₁ + an) * n/2

780 = (1 + an) * n/2

780 * 2 = (1 + an) *n   Ecuación (2)         (1) Lo reemplazamos en (2)

1560 = (1 + 4n - 3) * n

1560 = ( 4n - 2) * n

1560 = 4n² - 2n               Simplificamos sacamos mitad

780 = 2n² - n

0 = 2n² - n - 780

2n² - n - 780 = 0               Por formula resolvemos

a = 2

b = - 1

c = - 780

Formula.

n = [- b +/- √(b² - 4ac)]/2a

n = [ - (- 1) +/- √((- 1)² - 4(2)( - 780))]/(2 * 2)

n = [ 1 +/- √(1  + 6240)]/4

n = [1 + / - √6241]/4

n = [ 1 + / -  79]/4

n₁ = [ 1 + 79]/4

n₁ = 80/4

n₁ = 20

 o

n₂ = [1 - 79]/4

n₂ = - 78/4

Se toma el valor positivo

n = 20